最小生成树之Kruskal(C++)

最小生成树

最小生成树：简单来说就是，带权图中遍历所有点所经过边权之和最小；
带权图：边赋以权值的图称为带权图（生成树的各边的权值总和称为该树的权）；
注：最小生成树中不形成回路，联通n个点恰巧经过n-1条边

Kruskal算法

算法思想

贪心选取最短的边来组成一颗生成树（借助并查集实现）；

算法简介

kruskal算法：取出带权图中所有带权边，并对它们进行排序，依次取出权值最小的边；
若此边与之前选取的边（存放在集合T中）无法形成回路，则将该边存入集合T中；
直至建到一颗生成树（即T中存入n-1条边）；

算法复杂度

kruskal算法复杂度只与网中边的条数有关，与顶点个数无关，因此时间复杂度主要由排序方法决定，
因此当网的顶点个数较多、而边的条数较少时，使用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树效果较好；
（复杂度O（m*lg(m）适用于稀疏图）

算法实现

例题（模板题，出自luoguP3366）：

存储方式（结构体存储）：

struct lq{
    int x,y,z;
}f[200005];

排序部分（就直接用c++的快排了）：

bool cmp(lq a,lq b){
    return a.z<b.z;
}

sort(f,f+m,cmp);//以z的大小为标准对结构体进行排序

并查集部分（炒鸡普通。。。）

int pre[5005];
int father(int x){//找根结点
    int root=x;
    while(pre[root]!=-1){
        root=pre[root];
    }
    return root;
}

bool un(int x,int y){//判断回路（若x,y是否在同一个集合中，不是则将结点y放入x所在的树中）
    int x_root=father(x);
    int y_root=father(y);
    if(x_root==y_root){
        return 0;
    }
    else{
        pre[x_root]=y_root;
        return 1;
    }
}

完整代码（C++）：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
typedef long long ll;
using namespace std;

int n,m;//节点数，边数
int ans=0;//最小生成树边权和
int tot=0;//已经选取的边数
struct lq{
    int x,y,z;
}f[200005];
int pre[5005];//并查集数组
 
bool cmp(lq a,lq b){
    return a.z<b.z;
}

int father(int x){//查找根节点
    int root=x;
    while(pre[root]!=-1){
        root=pre[root];
    }
    return root;
}

bool un(int x,int y){
    int x_root=father(x);
    int y_root=father(y);
    if(x_root==y_root){
        return 0;
    }
    else{
        pre[x_root]=y_root;
        return 1;
    }
}

int main()
{
    memset(pre,-1,sizeof(pre));//数组清零
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>f[i].x>>f[i].y>>f[i].z;
    }//读入数据
    sort(f,f+m,cmp);//以z的大小为标准进行升序排序
    for(int i=0;i<m;i++){//依次取出权值最小的边
        if(un(f[i].x,f[i].y)){//如果该边的两个结点不在一个集合中，即添加该边未产生回路
            ans+=f[i].z;//加入边权值
            tot++;//边数加一
            if(tot==n-1){//当边数为n-1时，输出权值和
                cout<<ans;
                return 0;
            }
        }
    }
    cout<<"orz";//出循环则tot
    return 0;
}

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