为什么神经网络能以任意精度拟合任意复杂度的函数？——转自简书

本文转自简书，作者朱新威。原文链接如下：

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在开始之前，我们先来看一下维基百科给出的万能近似定理(Universal approximation theorem)描述：

In the mathematical theory of artificial neural networks, the universal approximation theorem states that a feed-forward network with a single hidden layer containing a finite number of neurons can approximate continuous functions on compact subsets of R, under mild assumptions on the activation function. 

Universal approximation theorem(Hornik et al., 1989;Cybenko, 1989)定理表明：前馈神经网络，只需具备单层隐含层和有限个神经单元，就能以任意精度拟合任意复杂度的函数。这是个已经被证明的定理。下面我们用一种轻松的方式解释，为什么神经网络（理论上）可以拟合任何函数？

1. 线性回归（Linear Regression）: 一道小学题

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看过《神偷奶爸》这部电影的同学都知道，小黄人(Minions)非常喜欢吃香蕉。不过，现在它只有12个苹果，但它对苹果不感兴趣，想着如果谁能用香蕉换它的苹果就好了。不经意间，它发现了一个神奇的小屋。

图1.1 神奇小屋

小黄人向神奇小屋的窗户里放进一个苹果，神奇小屋什么也不会给它。小黄人又尝试向小屋的窗户里放进5个苹果，神奇小屋突然吐出16个香蕉！这下小黄人可高兴坏了。然后，小黄人又尝试扔给神奇小屋6个苹果，神奇小屋又吐出来20个香蕉。

现在，小黄人的12个苹果用完了，它抱着换来的香蕉想：如果我给它3个苹果，小屋会吐出来多少香蕉呢？

这是一道小学题(找规律)，如何解答？

你可能脱口而出，8个香蕉！！OK，好吧，说明你的智商可以学习AI这么高深的学科了~

如何使用机器学习的步骤解答这道小学生做的题目呢（你可能觉得这是杀鸡用了宰牛刀）。

我们使用变量 x 表示扔给神奇小屋的苹果数量（输入input），使用变量 ŷ 表示神奇小屋吐出来的香蕉数量（输出Output），那么我们就得到了一个数据集(Data set)：

图1.2 数据集

我们的目标是，构建一个数学模型(Model)，使得该模型满足数据集的隐含规律。即，向模型输入 x 的值，模型会输出对应的 ŷ 值。

小学生应该学过一元函数(y = wx + b)。既然是小学题目，那么使用比较简单的函数应该就能模拟数据集的规律。所以我们定义了一个一元一次函数模型：

图1.3 一元函数模型

那么问题来了，我们怎样才能确定函数的两个参数w，b？

聪明的你可能又会脱口而出，是y = 4x + (-4) ！！OK，你再次证明了你的智商已经超过小学生或者初中生。

但是小黄人没有你那么聪明，它只能猜。如果w=1， b=0，结果会是怎样？

图1.4 候选模型1

很明显，模型的输出(预测)值 y 与实际数据集中的真实值 ŷ 相差很大。小黄人不满意，又随机猜了一次。w=2，b=2，结果又是怎样呢？

图1.5 候选模型2

嗯，这次模型的输出值 y 与数据集中的真实值 ŷ 相差似乎不那么大了。小黄人就想，这两个候选模型，哪一个更好呢（更能模拟数据集中的规律）？如何将”更好“量化？

于是，我们引出损失函数(lost function)的概念。

图1.6 损失函数

将预测值 y 与真实值 ŷ 之间的差值平方和，作为“更好”的一种量化。损失函数越小，即，预测值与真实值之间的差值越小，说明参数w，b越能模拟数据集中的规律。

扩展：

最小二乘法(least square method)：如果你对机器学习有所了解，应该听过这个概念。在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本(数据集)到直线上的欧式距离之和最小。突然冒出两个概念，可能让你感觉有点不适。没关系，我们先来看一下图1.3，让你有个直观感受。

你可以这样理解。欧式距离就是每个点到函数直线上的最短距离。中文翻译的“最小二乘法”不容易理解。它的英文名称是“least square method“。least的意思是“最小、最少”，这个容易理解；“square”的意思是“平方”，也就对应上面损失函数中的预测值与真实值的差值平方。其实“二乘”就是“平方”的意思。

所以，最小二乘法就是设法找到模型参数w、b，使得上面定义的损失函数值最小。最小二乘法是一种数学优化技术，对应下文讲到的优化器。

 

图1.3 最小二乘法

有了损失函数，我们来看一看，上面两个候选模型的损失函数值各是多少。

图1.7 候选模型比较

模型 y = 2x + 2 的损失函数值L(2,2) = 68，小于L(1,0) = 318，所以候选模型y = 2x + 2胜出。

小黄人是一个追求极致的人。损失函数值68虽然小于318，但是它还是很大呀，有没有其他参数w,b使得损失函数L(w,b)的值比68还小。

所以，我们又引出了优化器(Optimizer)的概念。

图1.8 优化器

想办法找出使得损失函数值L(w,b)最小的参数w，b。由于小黄人没有学过梯度下降法(一种凸函数优化算法，不懂也没关系，现在用不到)，所以它只能使用....”随机尝试法“。

图1.9 "随机尝试法"

小黄人从参数w=2，b=2，开始，以步长为1进行随机尝试。即，在“加一减一”的范围内，尝试坐标点（2,2）周围的四个点 : (3,2)、(2,3)、(1,2)、(1,1)。结果发现，在点（3,2）处，损失函数值小于其他三个点和原先点处的损失值。

所以，小黄人发现了一个更好的候选模型 y = 3x + 2，其损失函数值为26，比68小的多。小黄人，很兴奋，用同样的方式又开始了尝试。以此类推，它接着发现了L(3,1) =17、L(3,0) =14 两个坐标点。然而，在点（3,0）周围的尝试，都没有发现比14更小的损失函数值。

图1.10 结束了？

这样就结束了吗？

高智商的你，一定能想到，在点(4,-4)处，损失函数值最小：L(4,-4) =0。但是，用上述尝试方法并不能找到坐标点(4, -4)。

问题出在了哪儿？是初始点选择的问题。

图1.11 换个初始点开始

小黄人发现，如果从坐标点（-2，-4）开始上述方式的尝试，最终会找到使得损失函数最小的(4,-4)点。如果深入研究，将涉及到最优搜索问题，超出本片文章的范围。

我们当前只需知道，能够通过最优方法（如，最小二乘法），找到使得损失函数最小的模型参数w，b。

图1.12 整体流程

上面这个故事就是线性回归？？

我们需要给出一个稍微严谨点的定义，来说明什么是线性回归。下面是《机器学习》（周志华著）中给出的一句话：

“线性回归”（linear regression）试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测实值输出标记。

将这句话对应到我们的模型中。模型函数 y = 4x - 4 就是句中学得的“线性模型”。然后，在我们的故事中，不是尽可能准确地预测真实值输出标记，而是百分百预测了真实值输出标记....损失函数值能够达到最小0。

图1.13 线性回归

其实，没那么简单......我们稍微扩展一下。

有一天，小黄人发现，如果给神奇小屋1个苹果、2个香蕉、3个梨，神奇小屋就会吐给它一只猫咪~ 喵喵喵~。真的太神奇了。。。。

图 猫咪

这时，模型函数不再是简单的一元函数，而是三元函数，有三个输入变量 (x1, x2, x3)，和4个参数 (w1, w2, w3, b) 需要优化。我们将这种情况称之为“多元线性回归(multivariate linear regression)”。其实这是图像识别的原型模型，我们不再深入探讨。

2. 逻辑回归（Logistic Regression）: 一个压缩函数

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当小黄人发现了神奇小屋交换香蕉的规律后，非常非常高兴。它又找来了好多苹果，准备和神奇小屋交换香蕉。可是....生活就是这样。在你最得意的时候，往往会给你浇一盆凉水。

图2.1

（注，这里将之前的数据集调整了一下，由x=1，5，6改为x=1,2,3。方便画图啦）

小黄人又尝试给神奇小屋4个和5个苹果，结果分别得到9个和10个香蕉。似乎哪里有点不对？？！如果按照之前发现的规律，应该分别得到12和20个香蕉呀。小黄人，百思不得其解。

这时，神奇小屋吐出来一张纸条，上面写着：如果你扔进来的苹果太多，我给你的香蕉将会减少。小黄人，有点郁闷。

如果按照之前一元函数的方式建模，将会得到如下函数模型。

图2.2

你可能比小黄人聪明多了，一眼就看出来上面的模型函数好像不太合适。损失函数永远取不到最小值0。

图2.3

如果模型函数是这样就好了，那么对应的损失函数值将会取到最小值0。可是，这好像是两个模型函数。一山不容二虎，能不能将这两个函数合成一个函数。

这时，你又脱口而出，分段函数！！事实证明，你的智商已经达到高中生水平。

图2.4

当 x < 3 时，s1 等于1，s2 等于0，函数 y = 4x - 4；

当 x >= 3 时，s1 等于0，s2 等于1，函数 y=1x + 5；

这才是完美的组合函数。

那么，问题又来了。s1和s2是什么？怎么确定？

如果把s2看成函数，那么理想情况下，应该是这样的阶跃函数。

图2.5 阶跃函数

然而阶跃函数具有不连续、不光滑等不太好的性质。

这时，小黄人悠悠地说，我好像见过一个跟这个函数有点像的连续函数，叫Sigmoid函数。

图2.6 激活函数

看到这个Sigmoid函数后，你很生气。对着小黄人说：人笨就少说话，这个函数和阶跃函数，哪里相像了，差的也太远吧！！怎么看怎么不像。

小黄人：你给变量t一个参数不就行了，改成σ(1000t)。（抠鼻）

图2.7 激活函数2

如果不仔细看，几乎看不出在纵轴0到1之间，有个非常陡峭的曲线。你顿时无语，对小黄人刮目相看。

        当 x = 0.1 时，s = σ(100) ≈ 1；

        当 x = - 0.1 时，s = σ(100) ≈ 0；

稍微对这个Sigmoid函数做些调整，就能得到我们需要的各种阶跃函数。

sigmoid函数模拟阶跃函数

这样的话，我们就得到了新的模型函数，y = (4x - 4)σ(-1000x + 3000)+ (1x + 5)σ(1000x - 3000)；

如，当 x = 4 时， y = (12) σ(-1000) + (9)σ(1000) = 12*0 + 9*1 = 9，与数据集相符。

在这个过程中，小黄人还是有功劳的，提出了激活函数的概念。

下面我们看一下稍微严谨点的逻辑回归定义。

逻辑回归 (logistic regression )，是一种广义线性回归（generalized linear regression model）。

这一句话就够了。在第一节中我们已经学习线性回归模型 y = wx + b。观察图，能够发现，逻辑回归其实就是在线性回归的结果上在再使用一次激活函数 y = σ(wx + b)。线性回归模型 (y = wx + b) 的预测值y可以是一个任意实数{-∞, ∞}，而逻辑回归模型 (y = σ(wx + b)) 的预测值y只能是{0， 1}之间的实数。如果能够搞明白线性回归与逻辑回归的联系，说明你已经掌握两者的本质含义。

3. 多层感知机（Multilayer perceptron）: 

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小黄人想，虽然给的香蕉数量少了些，最起码小屋吐出来的香蕉比扔进去的苹果多嘛。于是，小黄人又尝试向神奇小屋里扔进去了7个和9个苹果。

结果，神奇小屋两次都只返还出来10个香蕉。这下小黄人傻眼了。

图 傻眼

虽然小黄人在其他事情上比较笨，但是只要与香蕉相关，它可精明的多。刚刚5个苹果就能换10个香蕉，现在9个苹果才能换10个香蕉！！明显自己吃亏了。但是，它又非常不喜欢吃苹果，只能强忍怨气，攒着一股劲，一定要把里面的规律找出来。

经过之前的套路，机智的你，一定能想到解决办法。

图

对，就是这样。将数据集分成三块，分别构建线性模型函数，然后利用激活函数，组合起来。

问题再次出现。

当 x < 3 时，s1 = σ(-1000x + 3000) = 1，其他情况为0；

当 x >= 5 时，s3 = σ(1000x - 5000) = 1，其他情况为0；

当 3 <= x < 5 时，s2 = ？？

不知道聪明的你有没有注意到，函数 s1 和 s3 都是以 x 作为未知变量。如果我们转换一下思路，将 s2 看成是 s1 和 s3的二元函数。即，s2是否等于1或0，由 s1 和 s2 的值决定。

s2 = σ(-1000s1 - 1000s2 + 500)

图

 

 

虽然得到的香蕉数目不再增加，但是这么复杂的问题都能解决掉（使用线性回归和逻辑回归相结合，对数据集建模），小黄人还是有点小高兴。反正它手里还有些苹果，于是它又尝试向神奇小屋里丢进去了10、11、12个苹果。结果...小黄人崩溃了！！

图 

神奇小屋传出来纸条说：做人不能贪得无厌，要见好就收，知足常乐。小黄人崩溃了。现在只留下一个未被解决的难题----怎么对数据集进行建模。

即使你很聪明，似乎也只能解决其中的两步。

    取 s1 = σ(-1000x + 3000)，即，当 x < 3 时，s1 = 0；

    取 s4 = σ(1000x - 9000)，即，当 x >= 9 时，s4 = 0；

那么 s1 和 s2 该如何确定？

根据之前的经验，你大致可以确定s1和s2应该由s1和s4的值确定。

 

后续......

假设现在我们有许多数据集，

 

 

 

梳理一下流程

重点来了

 

免喷声明：本文借鉴(chao xi)牛津大学xDeepMind 自然语言处理公开课

作者：朱新威
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来源：简书
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