神经网络为什么可以（理论上）拟合任何函数？

fourier 变换

问题来了为啥要deep呢？

答案在这里 居然特别简单 deep了你有高频的震荡了你可以efficient 的locally逼近x^2 然后就有所有local的逼近多项式了

local polynomial在holder和sobolev space是optimal的 我们就扩大了空间了

【这篇paper发在很一般期刊上而且题目不吸引人我一直忘记 求好心人给reference

感谢评论区

Yarotsky D. Error bounds for approximations with deep ReLU networks[J]. Neural Networks, 2017, 94: 103-114.

大家都知道fourier/polynomial 变化逼近非光滑函数非常的不efficient

【后面内容数学上就不trivial了

这时候我们应该用wavelet

所以后续有paper说你用四层nn 能表示出来一个wavelet变换

所以就能逼近不光滑函数，而且比起二层NN效率高很多【可以证明

【下面这篇加上了 estimation和2layer的lower bound，最早用wavelet的应该是Ronald coifman院士的paper……

Adaptivity of deep reLU network for learning in besov and mixed smooth besov spaces: optimal rate and curse of dimensionality Taiji Suzuki iclr2018

最后关于

@Lyken

提到神经网络=分片线性

篇数越来越多总能逼近

但是分的片之间有关系 而且你也只有一个片数upper bound

还是需要严格的分析

这篇想法是有限元也是分片线性 把有限元的bound涌过来证明了approximation theory

Relu deep neural networks and linear finite elements arXiv preprint arXiv:1807.03973,

@赵拓

老师有很有趣的工作 把approximation放到了manifold 上函数

大家感兴趣可以看看

Efficient approximation of deep relu networks for functions on low dimensional manifolds Neurips2019

最后为neural ode打一个广告

这个用neural ode可以转换成一个controllable的问题 也可以证明

1. arXiv:1912.10382 [pdf, ps, other]  arXiv(X依希腊文的χ发音,读音如英语的archive)
2. Deep Learning via Dynamical Systems: An Approximation Perspective
3. Authors: Qianxiao Li, Ting Lin, Zuowei Shen

【很有趣 但我也不知道有啥好处 去问作者吧

但是我还不知道存在一个空间

NN可以逼近 传统的wavelet或者别的方法不能逼近的………