盘点那些必问的数据结构算法题之二叉树基础
0 概述
在说二叉树前，先来看看什么是树。树中基本单位是结点，结点之间的链接，称为分支。一棵树最上面的结点称之为根节点，而下面的结点为子结点。一个结点可以有0个或多个子结点，没有子结点的结点我们称之为叶结点。
二叉树是指子结点数目不超过2个的树，它是一种很经典的数据结构。而二叉搜索树(BST)是有序的二叉树，BST需要满足如下条件：
-
若任意结点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
-
若任意结点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值；(有些书里面定义为BST不能有相同值结点，本文将相同值结点插入到右子树)
-
任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树；
本文接下来会从定义，二叉搜索树的增删查以及二叉树的递归和非递归遍历进行整理。
1 定义
我们先定义一个二叉树的结点，如下：
typedef struct BTNode {
int value;
struct BTNode *left;
struct BTNode *right;
} BTNode;
其中 value 存储值，left 和 right 指针分别指向左右子结点。二叉搜索树跟二叉树可以使用同一个结构，只是在插入或者查找时会有不同。
2 基本操作
接下来看看二叉树和二叉查找树的一些基本操作，包括BST插入结点，BST查找结点，BST最大值和最小值，二叉树结点数目和高度等。二叉查找树(BST)特有的操作都在函数前加了 bst 前缀区分，其他函数则是二叉树通用的。
1) 创建结点
分配内存，初始化值即可。
/**
* 创建BTNode
*/
BTNode *newNode(int value)
{
BTNode *node = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
node->value = value;
node->left = node->right = NULL;
return node;
}
2) BST 插入结点
插入结点可以用递归或者非递归实现，如果待插入值比根节点值大，则插入到右子树中，否则插入到左子树中。如下图所示(图来自参考资料1，2，3)：
/**
* BST中插入值，递归方法
*/
/**
* BST中插入结点，递归方法
*/
BTNode *bstInsert(BTNode *root, int value)
{
if (!root)
return newNode(value);
if (root->value > value) {
root->left = bstInsert(root->left, value);
} else {
root->right = bstInsert(root->right, value);
}
return root;
}
/**
* BST中插入结点，非递归方法
*/
BTNode *bstInsertIter(BTNode *root, int value)
{
BTNode *node = newNode(value);
if (!root)
return node;
BTNode *current = root, *parent = NULL;
while (current) {
parent = current;
if (current->value > value)
current = current->left;
else
current = current->right;
}
if (parent->value >= value)
parent->left = node;
else
parent->right = node;
return root;
}
3) BST 删除结点
删除结点稍微复杂一点，要考虑3种情况：
删除的是叶子结点，好办，移除该结点并将该叶子结点的父结点的 left 或者 right 指针置空即可。
删除的结点有两个子结点，则需要找到该结点左子树的最大结点(使用后面的bstSearchIter 函数)，并将其值替换到待删除结点中，然后递归调用删除函数删除该结点左子树最大结点即可。
删除的结点只有一个子结点，则移除该结点并将其子结点的值填充到该删除结点即可(需要判断是左孩子还是右孩子结点)。
/**
* BST中删除结点
*/
BTNode *bstDelete(BTNode *root, int value)
{
BTNode *parent = NULL, *current = root;
BTNode *node = bstSearchIter(root, &parent, value);
if (!node) {
printf("Value not found\n");
return root;
}
if (!node->left && !node->right) {
// 情况1：待删除结点是叶子结点
if (node != root) {
if (parent->left == node) {
parent->left = NULL;
} else {
parent->right = NULL;
}
} else {
root = NULL;
}
free(node);
} else if (node->left && node->right) {
// 情况2：待删除结点有两个子结点
BTNode *predecessor = bstMax(node->left);
bstDelete(root, predecessor->value);
node->value = predecessor->value;
} else {
// 情况3：待删除结点只有一个子结点
BTNode *child = (node->left) ? node->left : node->right;
if (node != root) {
if (node == parent->left)
parent->left = child;
else
parent->right = child;
} else {
root = child;
}
free(node);
}
return root;
}
4) BST 查找结点
注意在非递归查找中会将父结点也记录下来。
/**
* BST查找结点-递归
*/
BTNode *bstSearch(BTNode *root, int value)
{
if (!root) return NULL;
if (root->value == value) {
return root;
} else if (root->value > value) {
return bstSearch(root->left, value);
} else {
return bstSearch(root->left, value);
}
}
/**
* BST查找结点-非递归
*/
BTNode *bstSearchIter(BTNode *root, BTNode **parent, int value)
{
if (!root) return NULL;
BTNode *current = root;
while (current && current->value != value) {
*parent = current;
if (current->value > value)
current = current->left;
else
current = current->right;
}
return current;
}
5）BST 最小值结点和最大值结点
最小值结点从左子树递归查找，最大值结点从右子树递归找。
/**
* BST最小值结点
*/
BTNode *bstMin(BTNode *root)
{
if (!root->left)
return root;
return bstMin(root->left);
}
/**
* BST最大值结点
*/
BTNode *bstMax(BTNode *root)
{
if (!root->right)
return root;
return bstMax(root->right);
}
6）二叉树结点数目和高度
/**
* 二叉树结点数目
*/
int btSize(BTNode *root)
{
if (!root) return 0;
return btSize(root->left) + btSize(root->right) + 1;
}
/**
* 二叉树高度
*/
int btHeight(BTNode *root)
{
if (!root) return 0;
int leftHeight = btHeight(root->left);
int rightHeight = btHeight(root->right);
int maxHeight = leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
return maxHeight;
}
3 二叉树遍历
递归遍历-先序、中序、后序、层序
二叉树遍历的递归实现比较简单，直接给出代码。这里值得一提的是层序遍历，先是计算了二叉树的高度，然后调用的辅助函数依次遍历每一层的结点，这种方式比较容易理解，虽然在时间复杂度上会高一些。Java面试题精选【1-40期】阶段性总结
/**
* 二叉树先序遍历
*/
void preOrder(BTNode *root)
{
if (!root) return;
printf("%d ", root->value);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
/**
* 二叉树中序遍历
*/
void inOrder(BTNode *root)
{
if (!root) return;
inOrder(root->left);
printf("%d ", root->value);
inOrder(root->right);
}
/**
* 二叉树后序遍历
*/
void postOrder(BTNode *root)
{
if (!root) return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
printf("%d ", root->value);
}
/**
* 二叉树层序遍历
*/
void levelOrder(BTNode *root)
{
int btHeight = height(root);
int level;
for (level = 1; level <= btHeight; level++) {
levelOrderInLevel(root, level);
}
}
/**
* 二叉树层序遍历辅助函数-打印第level层的结点
*/
void levelOrderInLevel(BTNode *root, int level)
{
if (!root) return;
if (level == 1) {
printf("%d ", root->value);
return;
}
levelOrderInLevel(root->left, level-1);
levelOrderInLevel(root->right, level-1);
}
非递归遍历-先序、中序、后序、层序
-
非递归遍历里面先序遍历最简单，使用一个栈来保存结点，先访问根结点，然后将右孩子和左孩子依次压栈，然后循环这个过程。中序遍历稍微复杂一点，需要先遍历完左子树，然后才是根结点，最后才是右子树。
-
后序遍历使用一个栈的方法postOrderIter()会有点绕，也易错。所以在面试时推荐用两个栈的版本postOrderIterWith2Stack()，容易理解，也比较好写。
-
层序遍历用了队列来辅助存储结点，还算简单。
这里我另外实现了一个队列 BTNodeQueue 和栈 BTNodeStack，用于二叉树非递归遍历。
/*********************/
/** 二叉树遍历-非递归 **/
/*********************/
/**
* 先序遍历-非递归
*/
void preOrderIter(BTNode *root)
{
if (!root) return;
int size = btSize(root);
BTNodeStack *stack = stackNew(size);
push(stack, root);
while (!IS_EMPTY(stack)) {
BTNode *node = pop(stack);
printf("%d ", node->value);
if (node->right)
push(stack, node->right);
if (node->left)
push(stack, node->left);
}
free(stack);
}
/**
* 中序遍历-非递归
*/
void inOrderIter(BTNode *root)
{
if (!root) return;
BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));
BTNode *current = root;
while (current || !IS_EMPTY(stack)) {
if (current) {
push(stack, current);
current = current->left;
} else {
BTNode *node = pop(stack);
printf("%d ", node->value);
current = node->right;
}
}
free(stack);
}
/**
* 后续遍历-使用一个栈非递归
*/
void postOrderIter(BTNode *root)
{
BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));
BTNode *current = root;
do {
// 移动至最左边结点
while (current) {
// 将该结点右孩子和自己入栈
if (current->right)
push(stack, current->right);
push(stack, current);
// 往左子树遍历
current = current->left;
}
current = pop(stack);
if (current->right && peek(stack) == current->right) {
pop(stack);
push(stack, current);
current = current->right;
} else {
printf("%d ", current->value);
current = NULL;
}
} while (!IS_EMPTY(stack));
}
/**
* 后续遍历-使用两个栈，更好理解一点。
*/
void postOrderIterWith2Stack(BTNode *root)
{
if (!root) return;
BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));
BTNodeStack *output = stackNew(btSize(root));
push(stack, root);
BTNode *node;
while (!IS_EMPTY(stack)) {
node = pop(stack);
push(output, node);
if (node->left)
push(stack, node->left);
if (node->right)
push(stack, node->right);
}
while (!IS_EMPTY(output)) {
node = pop(output);
printf("%d ", node->value);
}
}
/**
* 层序遍历-非递归
*/
void levelOrderIter(BTNode *root)
{
if (!root) return;
BTNodeQueue *queue = queueNew(btSize(root));
enqueue(queue, root);
while (1) {
int nodeCount = QUEUE_SIZE(queue);
if (nodeCount == 0)
break;
btHeight
while (nodeCount > 0) {
BTNode *node = dequeue(queue);
printf("%d ", node->value);
if (node->left)
enqueue(queue, node->left);
if (node->right)
enqueue(queue, node->right);
nodeCount--;
}
printf("\n");
}
}