hdu 1028 Ignatius and the Princess III 母函数/dp

题意：给定一个数n，进行整数划分，有多少种方法？例如4=1+1+1+1=2+1+1=2+2=3+1=4共5种。

题解：

有两种方法：母函数和dp。

1）母函数。我们先需要了解母函数，对于一个序列ai，g(x)=a0+a1x+a2x^2+...，g(x)就是母函数，也成为生成函数。拿这道题来说，我们可以把都是1的组合表示为1+x+x^2+x^3+...，这其中kx^n表示就表示将n划分成全为1的数有k种方式；同理我们划分成全是2的数为(1+x^2+x^4+...)，其中x^3这类不可能组合成，所以系数为0。那么(1+x+x^2+...)*(1+x^2+x^4+...)又表示什么，我们乘一下得到1+x+2x^2+2x^3+3x^4+...这样我们发现3x^4表示的意思就是4划分成由1和2组成，共有3种方式（可以对照题意种的离子）。

也就是说这题我们就可以转换成(1+x+x^2+...)*(1+x^2+x^4)*(1+x^3+x^6+...)*...*(1+x^n)中x^n的系数是多少。方法就是先记录第一个多项式(1+x+x^2+...)的系数，然后逐个多项式乘积，改变相应的系数。具体见代码。

2）dp。//dp[i][j]表示数值i，划分成为1~m有多少种情况。

分三种情况：

①j>i，就是对于i+1~j部分，划分数为0，所以dp[i][j]=dp[i][i];

②j==i，对于i划分成由i组成的数只有一种，所以dp[i][i]=dp[i][i-1]+1;//这步可以和③合并

③j

相关链接：母函数-百度百科，hdu 1028 1085简单母函数-新浪博客

代码：

母函数：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

//母函数
/*
对于1+x+x^2+x^3+...中，kx^n表示由全部是1组合而成n的方法有k种。
对于这道题的n，就是g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)*(1+x^2+x^4+x^6+...)*...(1+x^n),
其中g(x)表示这道题的生成函数（也称母函数），g(x)中存在kx^n的表示的意思就是
由1~n数组合成n的方法有k种，即n的整数划分有k种方式
*/
const int maxn=130;
//f[i][j]表示由1~i组成数值j由多少种方式，跟dp很类似
//也可以说成母函数种指数为前i项乘积后，指数j的x^j的系数是多少
int f[maxn][maxn];
void init()
{
    int i,j,k;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=0;i<=120;i++)f[1][i]=1;//(1+x+x^2+x^3+...)
    for(i=2;i<=120;i++)//即*(1+x^i+x^2i+...)
    {
        for(j=0;j<=120;j++)
        {
            for(k=0;j+k<=120;k+=i)//即*x^k
            {
                f[i][j+k]+=f[i-1][j];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%d\n",f[n][n]);
    }
    return 0;
}

dp：

//dp
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn=130;
int dp[maxn][maxn];//dp[i][j]表示数值i，划分成最大值为1~m有多少种情况。
void init()
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<=120;i++)dp[i][0]=0,dp[0][i]=dp[1][i]=1;
    for(i=2;i<=120;i++)
    {
        for(j=1;j<=120;j++)
        {
            if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];
            else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
        }
    }
    //printf("%d\n",dp[1][1]);
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%d\n",dp[n][n]);
    }
    return 0;
}