多元正态分布及软件实现密度函数图像

正态分布密度函数及特征函数总结：

1.一元标准正态分布 N(0,1) ：

• 密度函数： (2π)−12e−y22
• 特征函数： e−t22

2.一元正态分布 N(μ,σ2) :

• 密度函数： 12π√σe−(y−μ)22σ2
• 特征函数： eitμ−t2σ22

3.多元标准正态分布 Nq(0,Iq) :

(其中 Y=⎡⎣⎢⎢y1⋮yq⎤⎦⎥⎥ ， y1⋯yq∼N(0,1) )

• 密度函数： (2π)−q2e−y′y2
• 特征函数： e−t′t2

4.多元正态分布 Np(μ,AA′) :

(其中 Y∼Nq(0,Iq),X=AY+μ∼Np(μ,AA′),A:p∗q ，其中 AA′ 记为 ∑ )

• 密度函数： (2π)−q2|∑|−12e−12(x−μ)′|∑|−1(x−μ)
• 特征函数： eit′μ−t′∑t2

例（二元正态图像的实现）：

X=[X1X2]∼N2(μ,∑) , μ=[μ1μ2] , ∑=[σ11σ21σ12σ22]=[σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22]>0
* R实现：

#不相关情形
x=seq(-5,5,by=0.1) #生成一组数，从-5到5，间隔0.1#
y=x
x=1
x1=dnorm(x,0,1) #返回值为正态分布密度函数值#
z=outer(x1,x1)
persp(x,y,z,theta=30,phi = 10,expand = 0.8)

#相关情形
fn=function(x,y){
  sigma=matrix(c(1,0,0,1),c(2,2))
  mu=c(0,0)
  sSigma=solve(sigma)
  return(exp(-((x-mu[1])^2*sSigma[1,1]+2*(x-mu[1])*(y-mu[2])*sSigma[1,2]+(y-mu[2])^2*sSigma[2,2])/2)/(2*pi*det(sigma)^0.5))
}
a=4
x=seq(-a,a,0.1)
y=seq(-a,a,0.1)
#outer为每个点(x,y)得到对应的z即z[i,j]=fn(x[i],y[j])，类似matlab的meshgrid
z=outer(x,y,fn)
persp(x,y,z,theta=30)               

*matlab实现：

u=[0;0];%均值
v=[1,0;0,1];%协方差阵
x=-7:0.05:7;%x是-7到7的一组数，每次增加0.05
y=-7:0.05:7;
[X,Y]=meshgrid(x,y);%生成二维网格矩阵
s2x=v(1,1) %x的方差 矩阵v的（1，1）元
s2y=v(2,2) %y的方差 矩阵v的（2，2）元
sx=sqrt(s2x) %x的标准差
sy=sqrt(s2y) %y的标准差
Cov=v(1,2) %协方差
r=Cov/(sx*sy) %相关系数
a=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2));
b1=-1/(2*(1-r^2));
b2=((X-u(1))./sx).^2;
b3=((Y-u(2))./sy).^2;
b4=2*r.*(X-u(1)).*(Y-u(2))./(sx*sy)
Z=a*exp(b1*(b2+b3-b4));%也就是f(x1,x2)的表达式
mesh(X,Y,Z),title('密度函数图')
figure
contour(X,Y,Z),title('等高线图')