kernel方法和高斯过程

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人的学习方式有两种，一种是从经验中总结中规律来，然后用规律来指导对事物的判断和实践；另一种是案例学习法， 在大脑中记下大量的案例，当在实际中遇到需要做出判断的情况时，便从大脑中找出与当前情况相似的案例，根据相似案例的情形来指导当前的判断。中国古人对后一种方法是相当重视的，写文章都必须引用古代的典故，引得越多，仿佛文章的观点就越站得住脚。

机器学习与此类似，通常需要从训练数据中总结出一个公式y(x)，以此来对将来可能遇见的数据进行预测。但机器学习同样可以将训练数据记下来，在遇到一个待预测的输入时，利用那些相似的训练数据，来得到一个预测值。要使这样的机器学习过程可以工作，需要定义一个kernel函数k(x,x')，它用来定义输入x和输入x'的相似度。而这个相似度，其实是将两输入向量映射到另一个向量空间后，得到的两个新的向量的内积，即：

k(x,x') = Φ(x)TΦ(x')

在kernel函数定义的相似度下，与待预测输入越相似的训练数据，对预测值的贡献越大。

如果将训练数据看作一个序列，那么可以利用一个高斯过程来描述这个序列，进而利用该高斯过程对新的输入进行预测。用下面的分布来表示这个高斯过程：

p(T)=Ν(T|0,K)

其中T是由输出值组成的序列，即T=1,t2,...>，Ν为高斯分布，K是由kernel函数组成的协方差矩阵，其中Knm=k(xn,xm)。

考虑n个训练数据t1,t2,...,tn，和1个待预测值tn+1，上式可以求出1,t2,...,tn+1>的联合分布，进而可以求得预测值的分布p(tn+1|t1,t2,..,tn)，它同样是一个高斯分布。