FWT

算法流程

（1） 计算 $c_i={\sum }_{i=j|k}{a}_j{b}_k$

设 $fwt[a{]}_i={\sum }_{j|i=i}{a}_j$，设序列左半边为 $a_0$，右半边为 $a_1$，可以得到：
$$fwt[a]=merger(fwt[a_0],fwt[a_0]+fwt[a_1])$$

即，取 $i=0$ 时，$j=0$，满足 $j|i=i$ 。取 $i=1$ 时，$j=0$ 或者 $1$

那么从 $fwt[a]$ 变为 $a$ 就相当于求逆
$$a=merger(a_0,a_1-a_0)$$

（2） 计算 $c_i={\sum }_{i=j\&k}{a}_j{b}_k$

设 $fwt[a{]}_i={\sum }_{j\&i=i}{a}_j$，设序列左半边为 $a_0$，右半边为 $a_1$，可以得到：
$$fwt[a]=merger(fwt[a_0]+fwt[a_1],fwt[a_1])$$

即，取 $i=0$ 时，$j=0$ 或者 $1$，满足 $j\&i=i$ 。取 $i=1$ 时，$j=0$

那么从 $fwt[a]$ 变为 $a$ 就相当于求逆
$$a=merger(a_0-a_1,a_1)$$

（3） 计算 $c_i={\sum }_{i=j\oplus k}{a}_j{b}_k$

$$fwt[a]=merger(fwt[a_0]+fwt[a_1],fwt[a_0]-fwt[a_1])$$

$$a=merger(\frac{a_0+a_1}{2},\frac{a_0-a_1}{2})$$

参考链接

习题：https://www.luogu.com.cn/problem/CF662C

P4717 【模板】快速沃尔什变换 (FWT)

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4717

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=150000,mod=998244353,inv2=499122177;

int n,total;
int a[maxn],b[maxn],A[maxn],B[maxn];

void add(int &x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod) x-=mod;
    if(x<0) x+=mod;
}

void fwt_or(int *A,int f)
{
    for(int mid=1,len=2;mid<total;mid<<=1,len<<=1)
        for(int p=0;p<total;p+=len)
            for(int k=0;k<mid;++k)
                add(A[p+mid+k],A[p+k]*f);
}
void fwt_and(int *A,int f)
{
    for(int mid=1,len=2;mid<total;mid<<=1,len<<=1)
        for(int p=0;p<total;p+=len)
            for(int k=0;k<mid;++k)
                add(A[p+k],A[p+mid+k]*f);
}
void fwt_xor(int *A,int f)
{
    for(int mid=1,len=2;mid<total;mid<<=1,len<<=1)
    {
        for(int p=0;p<total;p+=len)
        {
            for(int k=0;k<mid;++k)
            {
                int x=A[p+k],y=A[p+mid+k];
                A[p+k]=(1ll*x+y)%mod;
                A[p+mid+k]=(1ll*x-y+mod)%mod;
                if(f==-1)
                {
                    A[p+k]=1ll*A[p+k]*inv2%mod;
                    A[p+mid+k]=1ll*A[p+mid+k]*inv2%mod;
                }
            }
        }
    }
}
void init()
{
    for(int i=0;i<total;++i)
        a[i]=A[i],b[i]=B[i];
}
void print()
{
    for(int i=0;i<total;++i)
        printf("%d%c",a[i],i==total-1?'\n':' ');
}
void solve1()
{
    init();
    fwt_or(a,1),fwt_or(b,1);
    for(int i=0;i<total;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    fwt_or(a,-1);
    print();
}
void solve2()
{
    init();
    fwt_and(a,1),fwt_and(b,1);
    for(int i=0;i<total;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    fwt_and(a,-1);
    print();
}
void solve3()
{
    init();
    fwt_xor(a,1),fwt_xor(b,1);
    for(int i=0;i<total;++i) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    fwt_xor(a,-1);
    print();
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    total=1<<n;
    for(int i=0;i<total;++i) scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=0;i<total;++i) scanf("%d",&B[i]);
    solve1();
    solve2();
    solve3();
    return 0;
}