递归、闭合形式解（closed form solution）

一、递归的意义。

我以前一直误解了递归的意义，并为自己能在程序中多写几个递归高兴。现在我发现错了！递归显然能让程序看起来非常简洁，但是，由于会引起函数的多次调用，将大大的降低程序的效率。那我们讨论递归干什么？基于以下这两个愿因：

第一，也是最重要的原因，递归告诉了我们一种思考问题的方法。因为，确实是有一些问题，如果不用递归的思想去思考，我们将束手无策！最明显的例子就是汉诺塔的问题。

但是，正如前面提到的，递归的效率并不高。因此，我可以利用递归去思考，但如果做得到的话，尽可能用循环或直接计算去替代递归，如何把递归转换为循环或直接计算，将在闭合形式解中讨论。

第二，就像不能根除goto语句一样，递归在某些时候确实没有替代品。所以，学会熟练的写出递归程序，仍是必备的能力。这里简要的说一说如何写递归的程序。

最简单的递归由两部分组成：1、初始情况（base case）。2、递归部分（recursive call）

就拿汉诺塔的问题吧(摘自Clifford A. Shaffer 的数据结构与算法 第二版)：

void TOH(int n,Pole start,Pole temp)

{

   if(n == 0) return;                            //base case

   //把n-1块从start移到temp

   TOH(n-1,start,temp,goal);          //recursive call

   //把start最上面那一块移到goal

   mov(start,goal);                            //move one disk

   //把n-1块从temp移到goal

    TOH(n-1,temp,goal,start);         //recursive call

}

二、闭合形式解（closed form solution）

闭合形式解：一个能直接计算级数和或递归结果的等式。

其实，这应该属于高中的知识了。例如，已经一个递归：T（n） = T（n-1）+ n^2;

 那么根据高中的数学知识，可以解出：

T（n） = n^2  + （n-1）^2 + （n-2）^2 + ... + 2^2 + 1^2

              = （2*n^3 + 3n^2 + n）/6

这样就可以用直接计算的方法来代替递归了。效率显著提高！