关于闭合解（Closed-form solution…

原文参考http://belobaba.blog.163.com/blog/static/11534314820096263443219/还有http://hi.baidu.com/shdren09/item/a4983505684b67e7ff240dca

还有http://mathforum.org/library/drmath/view/54553.html

在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。

数值解(numerical solution)

是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解.别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值. 当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值〈discrete values〉，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解析式解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值；数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。 e.g. eq: x^2=5 solution: x=sqrt(5) -- analytical solution（解析解） x=2.236 -- numerical solution（数值解）

解析解(analytical solution)

就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题. 所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）。然而，在一般的情况下，要找 closed form solution 是极其困难甚至是不可能的。所以从数学的眼光来看，第一步往往是问微分方程的解是否存在（存在是表示知道有函数会满足微分方程，但是不见得是 closed form solution 或是其它写得出来的样子，而只是就知道有解，玄吧？），若能证明解的存在性，那么下一个问题便是：解是否唯一（在很多情况下，解可能会是两个以上，此时就会衍生一个问题：哪个解比较合乎自然现象的结果）。这两个问题虽然看来非常像是哲学的问题（例如物理学家一定觉得明明自然的现象每天都在进行，而那些方程都是在描述自然的现象，解怎么可能不存在？或是哲学家问上帝存不存在、唯不唯一的问题，记得，就算证明了存在，还是看不到，这跟数学很像），但是往往研究这两件事的过程中会让人对所研究的微分方程有更多的了解，所以从某个角度而言数学的研究有其必要。而再往另一个更实际的方面来说，能写出 closed form solution 的微分方程，往往不一定能马上从解看出原方程所描述的现象。例如抛物型方程常常扮随有扩散的效应，也就是说所关心的物理量（例如浓度、温度）会由量高的地方往量低处流动；而双曲型方程却常是满足守恒律，也就是说若某物理量在某一时间点的最大值是这么大，那么这个值永远这么大不会「扩散」掉。这种现象上的分野是很难直接从方程的解本身看出来的，所以我想用一句很贴切的话来说明解在微分方程中的地位：叫做见树不见林里面的「树」（而林则是指微分方程所描写的现象本身）。数学的研究方法，即在从方程的本身（而非从树），去推敲林的长相。

然而，解的本身仍然是对了解微分方程所描述的自然现象，相当不可或缺的一部份。诚如前面所谈到的，要求解往往是极为困难的工作，所以数值方法的发展在某种程度上弥补了这个空隙。

以下是一个老外的回答，比较精炼简单：