稀疏编码最优化解法
稀疏编码最优化解法--概述
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稀疏编码的概念来自于神经生物学。生物学家提出，哺乳类动物在长期的进化中，生成了能够快速，准确，低代价地表示自然图像的视觉神经方面的能力。我们直观地可以想象，我们的眼睛每看到的一副画面都是上亿像素的，而每一副图像我们都只用很少的代价重建与存储。我们把它叫做稀疏编码，即Sparse Coding.
稀疏编码的目的是在大量的数据集中，选取很小部分作为元素来重建新的数据。
稀疏编码难点之一是其最优化目标函数的求解。
这篇文章先做一个概述，接着再分别讨论各个解法。
稀疏线性模型
X为一个n为特征向量，可以是一个小波信号，可以是一副图片等。
D为标准化的基础矩阵，由组成元素的基本原子构成，也称为字典。在信号中可以是不同频率的波形，在图像中可以是构成图像的基本边，角。
X可以由D中和少量原子线性组合而成，及其表示系数为稀疏。如下：
数学模型
引出稀疏表示的两个基本要求，1是尽可能与原特征相似，2是系数为稀疏。
上式中，我们要求p>m，根据线性代数的知识我们知道，稀疏系数有无穷多组的解。根据稀疏的条件，我们可以在所有的可行解中挑出非零元素最少的解，也就是满足稀疏性。于是得到如下的数学模型：
如果再考虑噪声的话，就得到如下的模型：
目标函数中为零范数约束，是NP难题。
有人做了一个证明，在一定条件下，上述的最优化问题有唯一的解。
Terry tao又证明了，在满足一定条件下，零范数问题与一范数问题是等价的。于是上述模型转化为：
基于上面的思想，还有各种不同版本的数学模型。
常见模型
我们知道上式为非凸优化问题，常用的解法有：greedy algorithm，代表有Matching Pursuit, Orthogonal Matching Pursuit
上式为解不等式约束问题，常用的解法：LASSO
再写成拉格朗日乘子的形式，如果已知lambda，可用soft thresholding方法，常见的还有coordinate descent, Bregman Iteration等；
如果未知lambda，则用Homotopy.
MP算法与OMP算法
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稀疏编码的一般最优化公式为：
其中的零范数为非凸优化。那么如何解这么一个非凸优化问题呢？其中一个常用的解法就是MP算法。
MP算法
MP算法是一种贪心算法（greedy），每次迭代选取与当前样本残差最接近的原子，直至残差满足一定条件。
求解方法
首先解决两个问题，怎么定义“最接近原子”，怎么计算残差？
选择最接近残差的原子：MP里定义用向量内积原子与残差的距离，我们用R表示残差，di表示原子，则：
Max[Dist(R,di)]=max[
残差更新：R=R-
需要注意的是，MP算法中要求字典原子||di||=1,上面的公式才成立。
我们用二维空间上的向量来表示，用如下的图来表述上面的过程：
上图中d1,d2,d3表示归一化的原子，红色向量r表示当前残差；
进过内积计算，
再一轮迭代得到如下：
R往d1方向投影分解，绿色向量成为新的残差。
具体算法：
收敛性
从上面的向量图我们可以清楚地看出，k+1的残差Rk+1是k步残差Rk的分量。根据直角三角形斜边大于直角边，|Rk+1|<=|Rk|，则算法收敛。
注意事项：
1.上面也讲过，字典的原子是归一化的，也就是||di||=1，因为我们选取max
2.如果我们的字典只有两个向量d1,d2,那么MP算法会在这两个向量间交叉迭代投影，也就是f=a1d1+a2d2+a3d1+a4d2+…..;也就是之前投影过的原子方向，之后还有可能投影。换句话说，MP的方向选择不是最优的，是次优的。
如下图：
这也是其改进版本OMP要改进的地方。
OMP算法 （ smit正交化）
也就是正交的MP算法。
MP算法的次最优性来源其残差只与当前投影方向垂直，这样在接下来的投影中，很有可能会再次投影到原来的方向。
于是，在投影时，如果我们使得残差Rk+1与x1-xk+1的所有向量垂直，则可以克服这个问题，如下：
求解方法
假设我们已经得到了第k步的最优解：
我们要继续更新到第k+1步，目标是得到：
需要注意的是，我们下一步更新时，之前原子的系数 也要更新，否则不能满足约束。
于是我们需要求得如何更新之前原子系数 ，以及如何求得下一个投影方向 。
收敛性：
同样根据勾股定理，得到如下：
于是算法收敛。
具体步骤：
最后，贴一个sparse求解的工具包，里面包含了MP，OMP算法的代码：
http://spams-devel.gforge.inria.fr/
参考文献：
http://lear.inrialpes.fr/people/mairal/tutorial_iccv09/
http://blog.csdn.net/scucj/article/details/7467955
OrthogonalMatching Pursuit:Recursive Function Approximation with Applications to WaveletDecomposition