欧拉回路&Fleury算法&实现

基本知识

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，

称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

程序实现一般是如下过程：

1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。

2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。

3.利用dfs输出路径。

考虑一个比较有意思的问题，单词连接问题。

样例

考虑一个比较有意思的问题，单词连接问题。

给出n个单词，如果一个单词的尾和另一个单词的头字符相等，那么可以相连，问这n个单词是否可以排成一列。

这个显然可以使用欧拉路问题进行解决。考虑每一个单词的第一个字母入度加1，每一个单词的最后一个字母出度加1，然后每一个单词都相当于一条有向边，这样就可以利用这些信息进行是否联通的判断，比较高效的策略是使用并查集进行判断。

实现代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxv = 27;
int in[maxv];
int out[maxv];
int p[maxv];
int rankk[maxv];
int used[maxv];
void init()
{
   for(int i=0;irankk[pb])
    {
        p[pb]=pa;
        rankk[pa]+=rankk[pb];
    }
    else 
    {
        p[pa] = pb;
        rankk[pb]+=rankk[pa];
    }
    return true;
}
int main(int argc,char* argv[])
{
    init();
    int wordCount = 0;
    cin>>wordCount;
    string word;
    while(wordCount>0)
    {
       cin>>word;
       int len = word.size();
       in[word[0]-'a']++;
       out[word[len-1]-'a']++;
       used[word[0]-'a'] = 1;
       used[word[len-1]-'a'] = 1;
       unions(word[0]-'a',word[len-1]-'a');
       wordCount--;        
    }
    int scc = 0;
    for(int i=0;i1)
    {
       cout<<"scc is greater than 1 so it is not ok exit"<

Fleury算法

对于有向图和无向图都可以使用Fleury算法累实现寻找欧拉回路问题。下面介绍一下Fleury算法的思路。

Fleury算法：
   任取v0∈V(G)，令P0=v0；

设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：

（a）ei+1与vi相关联；

（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；

（c）当（b）不能再进行时，算法停止。

可以证明,当算法停止时所得的简单回路Wm=v0e1v1e2….emvm(vm=v0)为G中的一条欧拉回路，复杂度为O(e*e)。

//
//  Eular.h
//  HelloWorld
//
//  Created by jackqiu on 15-1-5.
//  Copyright (c) 2015年 jackqiu. All rights reserved.
//

#ifndef HelloWorld_Eular_h
#define HelloWorld_Eular_h
class Eular
{
private:
#define SIZE 1000
    int graph[SIZE][SIZE];
    int stack[SIZE+10];
    int top;//the
    int size;
    /**
     Fleury算法：
     任取v0∈V(G)，令P0=v0；
     设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：
     （a）ei+1与vi相关联；
     （b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；
     （c）当（b）不能再进行时，算法停止。
     可以证明,当算法停止时所得的简单回路Wm=v0e1v1e2….emvm(vm=v0)为G中的一条欧拉回路，复杂度为O(e*e)。
     */
    void DFS(int x,int t)
    {
        stack[++top] = x;
        int brige = 0,i;
        for(i=t;i>size;
        cout<<"input the edge for example 1 2  (-1 -1) to exit"<>a>>b;
        graph[a][b] = graph[b][a] = 1;
        while(a!=-1&&b!=-1)
        {
            cin>>a>>b;
            graph[a][b] = graph[b][a] = 1;
        }
        top = 0;
        DFS(0,0);
        for(;top>0;top--)
        {
            cout<