程序员的数学基础课

二进制是因为
组成计算机系统 的逻辑电路
只有两个状态
开关的接通与断开

二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点。

用十进制设计具有 10 种状态的电路，情况就会非常复杂，判断状态的时候出错的几率就会大大提高

二进制也适合逻辑运算，真假和1，0正好匹配

逻辑右移 左边补0 >>>
算数右移 负数 左边补1 （符号位不变） >> I
java的bigInteger用于进制转换

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余数可以判断
N天后是星期几
余数一定小于除数，因为除数是每组的大小。多出的一组一定小于这个单位

hash是将任意长度输入，通过hash算法，得到固定长度输出，很像余数

设计散列表就像设计周一到周日的日期号，余数相同的在一个周一里

公式为f(x)=x%size，size指有限空间的数目，也就是有多少个框框装东西，不是框框本身的容量

也可以f(x)=(x+random)%size 增大随机性

加密一个三位数：比如625，取随机数是 590127。那单独取出百、十和个位分别加上这个随机数，就变成了 590133，590129，590132。然后，三位分别除以 7 求余后得到 5，1，4。最终，我们可以得到加密后的数字就是 415

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迭代是根据前面每一步，计算后面
递归是自己调用自己

求方程的精确或近似解，二分求平方根
查找匹配记录，二分比较是否匹配用.comparTo
机器学习算法中的迭代

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数学归纳法：

证明基本情况（通常是 n=1 的时候）是否成立；

假设 n=k−1 成立，再证明 n=k 也是成立的（k 为任意大于 1 的自然数）。

是一个证明假设再证明的过程

递归最大好处:保存中间状态和变量值
目的是简化成更小，更简单的子问题

归并和背包组合问题一样，都是先加再减。代码先写减完的边缘条件
Arrays.copyOfRange

对应MapReduce就是
数据分割
洗牌
规约
合并

一般递归的两个参数：剩下的内容，已经排好的内容和顺序

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排列穷举，也是用递归的代码。赛马分为horses未加入排列的，和result已加入排列的
比如密码暴力破解也是排列组合，n个数里取m个做密码。就是n^m次方。加上特殊符号需要十年破解密码

public static void permutate(ArrayList<String> horses, ArrayList<String> result) {
    	
    	// 所有马匹都已经出战，判断哪方获胜，输出结果
    	if (horses.size() == 0) {
    		System.out.println(result);
    		compare(result, q_horses);
    		
    		System.out.println();
    		
 	 			return;
   		}
    	
   		for (int i = 0; i < horses.size(); i++) {
    		// 从剩下的未出战马匹中，选择一匹，加入结果
 	 			ArrayList<String> new_result = (ArrayList<String>)(result.clone());
   			new_result.add(horses.get(i));
  	 		
    		// 将已选择的马匹从未出战的列表中移出
 	 			ArrayList<String> rest_horses = ((ArrayList<String>)horses.clone());
 	 			rest_horses.remove(i);
    		
    		// 递归调用，对于剩余的马匹继续生成排列
   			permutate(rest_horses, new_result);
   		}
    	
    }
 

组合也是t2后就不需要考虑t1了，因为已经出现过
所以递归参数是没有组合的队伍teams，和已经组合的队伍result
teams用subList更新,左闭右开，会影响原来的

public static void combine(ArrayList<String> teams, ArrayList<String> result, int m) {
    	
    	// 挑选完了 m 个元素，输出结果
    	if (result.size() == m) {
    		System.out.println(result);
    		return;
    	}
    	
    	for (int i = 0; i < teams.size(); i++) {
    		// 从剩下的队伍中，选择一队，加入结果
    		ArrayList<String> newResult = (ArrayList<String>)(result.clone());
    		newResult.add(teams.get(i));
    		
    		// 只考虑当前选择之后的所有队伍
    		ArrayList<String> rest_teams = new ArrayList<String>(teams.subList(i + 1, teams.size()));
    		
    		// 递归调用，对于剩余的队伍继续生成组合
    		combine(rest_teams, newResult, m);
    	}
    	
    }
    
}

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DP通过子问题最优解，推导最终最优解
利用编辑距离进行查询推荐
状态转移方程：
复杂度m*n，比原理m^n好太多了
要注意dp[i][j]和a[i],b[j]是不同的

什么时候用DP：看上去有很多可能，要用排列组合思想，但是其实只是在求最优解
Leetcode72题

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前缀树是一种有向树
树的高度是除了根节点外，数数

前缀树是一个典型应用，运用了深度遍历（用栈）