数据结构与算法分析笔记与总结(java实现)--排序算法的分析

排序算法的时间复杂度和空间复杂度：

选择排序、插入排序、冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1);

堆排序的时间复杂度为O(nlogn),空间复杂度为O(1);

希尔排序的时间复杂度为O(n^2)~O(n),平均O(n^1.5)；空间复杂度为O(1);

注意快速排序，时间复杂度最优是O(nlogn),最优情况是每次选取的分界值都恰好平分数组

T[n] =2T[n/2] + f(n)；T[n/2]；

最差情况时间复杂度是O(n^2)，即每次选取的分界值都是数组的最小值或者最大值，于是快速排序退化为冒泡排序：T[n] = n * (n-1) = n^2 + n;

对于空间复杂度注意：额外的数据结构会占用空间复杂度，例如使用辅助的数组，栈，集合会占用空间复杂度，此外使用递归也会占用空间复杂度，希尔排序中对于步长feet的调整可以使用递归，但是递归次数很小，将其忽略；对于快速排序，没有使用额外的数据结构，都是进行就地排序来进行就地快速排序，使用的空间复杂度是O(1)，此外真正消耗空间的是递归的调用，因为每次递归都要保存一些数据，于是快速排序的空间复杂度也与递归调用相关，最优情况下：每次分界值都平分数组，递归抵用的次数是logn,于是最优空间复杂度是O(logn)；最差情况是分界值每次都在最大或者最小元素，于是退化为冒泡排序，每次递归都只排列一个元素，于是递归调用次数是n次，于是空间复杂度是O(n).

详见http://blog.csdn.net/yuzhihui_no1/article/details/44198701

对于不基于比较的排序算法：奇数排序和基数排序，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(m)，其中m是通排序中通的数目。（桶可以通过哈希表数组来实现）

 

排序算法的稳定性：

何为算法稳定性，所谓的稳定性是对序列中相同的元素而言的，待排序数组中如果存在相同的元素，在排序之前这些相同的元素有一个相对的顺序（不要认为相同的元素没有区别，排序只是对元素的关键字进行进行排序，其实关键字所对应的元素对象是不同的，例如对员工按照年龄进行排序，通为20岁的员工，如果算法不稳定，那么有时可能顺序是小明、小红；有时可能是小红、小明），如果排序后这些相同的元素之间的相对位置发生了变化，那么说明这个算法是不稳定的，如果不发生变化就是稳定的。即如果一个算法是稳定的，那么不管排序多少次，这些相同元素之间的相对顺序都是不变的，如果不稳定那么排序时顺序可能会每次都不一样。即研究稳定性只需要研究相同元素之间顺序是否稳定即可。

快速排序：不稳定。因为在对45331进行分界时，中间元素时3，于是第二个3会被调整到左边部分，显然2个3的相对顺序发生了变化。

堆排序：不稳定。对大根堆的调整会交换相同的2个值，于是造成相同元素相对位置的变化。

归并排序：稳定。对于2个子数组进行合并时，如果有相同的元素，总是先将左边数组元素放入辅助数组，再将右边数组放入辅助元素，于是这些相同的元素之间不会错位。

希尔排序：不稳定。对于每一个步长的插入排序其实是稳定的，但是在不同步长之间，是不稳定的，例如745633，步长为2时，第一个3和5交换，第二个3和6交换得到743356，33顺序不变，当步长为3时，第一个3不变，第二个3与7交换到了第二个3的前面，于是2个3的相对顺序发生了变化。或者5115当步长为2时第二个1与第一个5进行交换，于是第二个1换到了第二个1的前面。

即在高效的算法中，只有归并排序是稳定的。

选择排序：不稳定。总是选择当前数组的最小值交换到前面有序序列的最后一个值。例如对于2221，此时最小的是1，其要与第一个2进行交换，得到于是第一个2调到了最后，显然3个2之间的顺序发生了变化。

插入排序：稳定。总是将当前元素与前面的每一个元素逐步比较逐个进行交换，于是相同元素之间的相对顺序也是不变的。

冒泡排序：稳定。因为每次都是从头开始对相邻的元素进行比较，将较大的元素逐步向后面交换移动，即总是对相邻的2个元素进行交换，于是不会改变相同元素的相对顺序。

对于时间复杂度为O(n^2)的排序算法，选择排序是不稳定的，插入排序和冒泡排序是稳定的。

即进行大跨度交换的算法，例如选择排序是不稳定的，进行逐步相邻元素交换的算法是稳定的，例如插入排序和冒泡排序。

 

对于不基于比较的排序算法，桶排序(基数排序、计数排序)，时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(n)，他们都是稳定的算法。

补充说明一：排序算法无绝对优劣

通常不能随便说那种排序算法好。这个和排序的元素相关。对于排序元素数据范围较小，且不是均匀分布的情况，例如年龄，身高，数据范围都是有限的狭窄的，此时桶不需要很多，可以考虑使用计数排序。对于均匀分布的整数，由于同需要很多，且每个桶中只有1个元素，例如收入排序的分布很广，因此需要很多桶，于是计数排序就不合适了。一般认为数据范围都是均匀分布的，于是一般其实都不采用桶排序，除非面试时特殊要求。

补充说明二：为什么叫快速排序

快速排序的时间复杂度是O(nlogn)~O(n^2),并不比堆排序O(nlogn)和归并排序O(nlogn)更优，在快排最优情况下，他的渐进复杂度和堆排序和归并排序是相同的。只是最优情况下，快排的常量系数比堆排序和归并排序更加小而已。

补充说明三：工程上的排序

例如对于Java类库中的排序算法（Arrays.sort()使用的实现时快速排序），他并不是一种算法而是多种算法的综合体，即是综合排序。当数组较小时，选择常量系数较小的插入排序可以更快，因为数量不大，因此系数小优势比复杂度小更有效。当数组较大时，选择复杂度较低的快速排序或者其他O(nlogn)的排序。