PAT 7-5 哥尼斯堡的“七桥问题” （25 分）（解题报告）

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。

这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？

输入格式:

输入第一行给出两个正整数，分别是节点数N (1≤N≤1000)和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。

输出格式:

若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

输入样例1:

6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

输出样例1:

1

输入样例2:

5 8
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
5 3
5 4
3 4

输出样例2:

0

原理及定义：

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，

称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

 

 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

 2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

3．其他情况的图都不能一笔画出。

思路：知道了上面的只是， 我们先用并查集判断所给的图是否连通，不连通一定不是欧拉回路；

步骤：

1】利用并查集判断是否连通（其实最后就是看是不是有独立的一个点的情况，并且这种点 >1 的时候一定不连通）；

2】在利用并查集的时候，可以直接把两个点存进对方的数组里面（因为最后会判断每个点的奇偶，也就是与几个点联通）。

3】利用1】、2】就可以得到每个点的奇偶值，也可以知道与谁连通；我们只需要按照原理判断即可（就是看如果有大于一个点的值是-1的话，说明有多于1个点的独立点，那么一定不连通；若一共就一个点，那么连通；否则，一定只有一个是-1的点）；

#include
#include
#include
using namespace std;

#define MAX 10005

vector v[MAX];//用于存放每个点与那个点连接

int pre[MAX];        //并查集数组，后面我们初始化为-1，为-1时就意味着查到老祖宗了^_^!

int Find(int x){     //并查集搜索   
	if(pre[x] == -1)
		return x;
	else
		return pre[x] = Find(pre[x]);
}

void Join(int x,int y){        //并查集连接
	int fx = Find(x);
	int fy = Find(y);
	if(fx != fy){
		pre[fy] = fx;
	}
}

int main(){
	int N,M;
	scanf("%d%d",&N,&M);
	memset(pre,-1,sizeof(pre));    //并查集数组初始化
	for(int i = 0; i <= N; i++)    //清空数组
		v[i].clear();
	int a,b;
	for(int j = 0; j < M; j++){    //输入
		scanf("%d%d",&a,&b);
		Join(a,b);                //连接
		v[a].push_back(b);        //把对方分别放进自己的数组
		v[b].push_back(a);
	}
	int count = 0,num = 0;        //创建两个变量count用来统计奇数点（与其他点有奇数个连接），                    num用来统计自己只与自己连通的点的个数
	for(int k = 1; k <= N; k++){
		if(v[k].size()%2){
			count++;
		}
		if(Find(k) == k){
			num++;
		}
	}
	if(count == 0 && num == 1)    //当都是偶数点，并且只有一个-1时，是欧拉回路
		printf("1\n");
	else                         //否则不是
		printf("0\n");
	/*<测试代码>
	for(int m = 0;m