4.三角形内角和定理

三角形的三个内角和为两个直角。

《几何原本》第一卷第32命题。

如图，在三角形ABC中，求证三个内角的和为两个直角。

三角形

证明：

三角形内角和定理

延长AB到点E，作角FBE（即图中标记gamma角）与角A相等，
因为角CBE是三角形ABC的一个外角，所以，
角CBE大于角A(第一卷第16命题）。
所以，作图后，点F落在角CBE的内部。
且得
直线BF//直线AC（第一卷第28命题）。

由平行得，角C等于角CBF，即图中角C等于图中beta角。

设角ABC为图中alpha角，那么，因为ABE是直线，
所以，alpha,beta,gamma三个角的和为两个直角。

等量替换以后，得到，三角形的三个内角和为两个直角。

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补充说明：
这里先利用角度相等，作平行线。
然后，用平行线的性质，证明角度相等。
本质上讲，
外角定理（第一卷第16命题）决定了平行线的存在性;
第五公设决定了平行线的唯一性。