全导数、偏导数、方向导数

全导数、偏导数、方向导数

1、全导数

全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。
一元函数的情况下,导数就是函数的变化率,从几何意义上看就是:

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但是在多元的情况下比一元的复杂,下面用二元函数来举例,比如这样一个曲面上的一点A :

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在曲面上可以做无数条过A 点的曲线

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每根曲线都可能可以作一根切线,比如:

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全导数的意义:每一根切线都和一个全导数“相关”,A点有无数个全导数。

2、参数方程

2.1、通过参数方程来描述所有的曲线

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这条曲线也是一个关于x,y的函数f(x,y),因此它与xy平面上的曲线具有一一对应关系:

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因此我们只需要描述xy 上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的,这时候就很自然的可以使用参数方程了。
举个具体的例子,对于f(x,y)=x^2+y^2 这个二元函数,函数图像是这样的:

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2.2、参数方程可以拍扁三维图像

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这就好比把xyz 空间的立体图形拍扁到了zt 平面。

3、偏导数

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4、方向导数

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