紫书 第10章 数学概念与方法

紫书上第十章的例题刷了有一半了，相关知识也学了学，但总感觉忘得很快，水一水博客，把自己的笔记总结一下，顺便清理一下收藏夹，哈哈哈。

10.1 数论初步
一、欧几里得算法（辗转相除法）

1. 最大公约数gcd(a, b)
   最小公倍数lcm(a, b)
2. 紫书中介绍的是gcd的递归算法，即辗转相除法
   辗转相除法的关键在于如下恒等式：gcd(a, b)=gcd(b, a mod b)，即cd(a, b)=gcd(b, a%b)，不断向下取余，当b=0时即为边界，gcd(a, 0)=a
3. 在证明利用gcd求lcm时提到了唯一分解定理
   唯一分解定理：一个数n肯定能被分解成n=p1^a1 * p2^a2 * . . .* pn^an（最后变成了质数相乘的方式，分解方式唯一）
   例如：36=4*9=2^3 * 3^2
   唯一分解定理入门
4. 先求gcd，再求lcm，上模板：

ll gcd(ll a, ll b) //while循环
{
    ll r=a%b;
    while(r)
    {
        a=b;
        b=r;
        r=a%b;
    }
    return b;
}

ll gcd(ll a, ll b) //递归写法
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int lcm(int a, int b)
{
    return a/gcd(a, b)*b;
}

二、筛法

1. 本来书中只介绍了埃氏筛，但查资料又发现了线性筛，一块总结出来
2. 埃氏筛法（构建1~n的素数表）的思想：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数
   时间复杂度：O(nlogn)
   （摘抄的另一位博主的解释，很容易明白）
   比如2是质数，那么4,6,8,10,12…都不是质数
   然后看3是质数，那么6,9,12,15,18,21…都不是质数
   然后看4，4已经被2标记为合数了，所以跳过
   然后看5…这样一直筛下去

int prime[maxn];
bool vis[maxn]={false};//用vis[i]表示i已经被删除
int cnt=0;
void Era_prime(int n)
{
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;//是素数
        for(int j=i; j<=n; j+=i)
            vis[j]=true;
    }
}

3. 埃氏筛的缺陷：一个合数可能被筛多次，例如30，被2, 3,…筛过—>使每个合数只被筛选一次—>只用该合数的最小质因子来筛选—>欧拉筛（不重复，以埃氏筛为基础）
   时间复杂度：O(n)

int prime[maxn], cnt=0;//prime记录素数，cnt记录素数个数
bool vis[maxn]={false};//vis记录当前数是否被筛去
void euler_prime(int n)
{
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(vis[i]==false) prime[cnt++]=i;//未被筛过，是素数
        for(int j=0; j<cnt; j++)
        {
            if(i*prime[j]>n) break;//当要标记的合数超出范围时跳出
            vis[i*prime[j]]=true;//将已经记录的素数的倍数进行标记
            if(i%prime[j]==0) break;//关键步骤，保证每个合数被它最小的质因数筛去
        }
    }
}

4. 模板题：习10-4 UVA1644

三、扩展欧几里得算法

1. 抄一抄度娘的定义：众所周知，有两个数a, b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数，扩展欧几里得算法还能找到一对整数(x, y)，即ax+by=gcd(a, b)的整数解，（x, y可能是负数或者0）

2. 简言之，扩展欧几里得算法的作用：得到ax+by=gcd(a,b)的所有整数解

3. 代码解释：前面提到，辗转相除法的关键在于如下恒等式：gcd(a, b)=gcd(b, a%b)，
   不断向下取余，当b==0时即为边界，gcd(a, 0) = a = a * 1 + 0 * 0—>(x=1, y=0)，这样我们就知道了最底层的一组解，再利用推导出来的公式（这里不懂得嘤）求出上面的解
   （注意在递归算法中，永远都是先得到下面一个状态的值）

4. 附上一些链接，希望以后能完全理解
   b站证明扩展欧几里得视频
   扩展欧几里得算法详解
   0830-扩展欧几里得算法+例题

//模板-求出ax+by=gcd(a, b)的一组解
void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
{
    if(!b) 
    { 
        d=a; //到达边界时d开始往上层返回
        x=1;   
        y=0; 
    }
    else 
    { 
        gcd(b, a%b, d, y, x); //d是a和b的最大公因数
        y-=x*(a/b); 
    }
}

//还见到了另一种写法，帮助理解
int gcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
   int d=a;
   if(!b) { x=1; y=0;}
   else { d=gcd(b, a%b, y, x); y-=a/b*x; }
   return d;
}

//例题（来源：博主：境外之主）
#include
typedef long long LL;
void extend_Eulid(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        extend_Eulid(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
int main(){
    LL a, b, d, x, y;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &b)){
        extend_Eulid(a, b, x, y, d);
        printf("%lld*a + %lld*b = %lld\n", x, y, d);
    }
}

5. 得到一组解后，如何得到其他解呢？
   设a, b, c为任意整数，g=gcd(a, b)，方程ax+by=g的一组解是(x0, y0)，则当c是g的倍数时ax+by=c的一组解是(x0c/g, y0c/g)；当c不是g的倍数时无整数解

6. 模板题：例10-2 UVA12169

四、同余与模运算

1. 公式：
   (a+b)%n=((a%n)+(b%n))%n
   (a-b)%n=((a%n)-(b%n)+n)%n //由于a%n有可能小于b%n，需要在结果上加上n
   ab%n=(a%n)(b%n)%n //积的取余等于取余的积的取余
2. 大整数取模
   输入正整数m和n，输出 n mod m 的值，n<=10^100, m<=10^9
   首先，把大整数写成“自左向右”的形式：1234=（（1*10+2）*10+3）*10+4，然后用前面的公式，每步取模

scanf("%s%d", n, &m);
int len=strlen(n);
int ans=0;
for(int i=0; i<len; i++)
   ans=(int)(((long long)ans*10+n[i]-'0')%m);
printf("%d", ans);

3. 幂取模
   （1）输入正整数a, n和m，输出 a^n%m 的值，a, n, m<=10^9
   （2）快速幂运算，以前遇到过一道题求a^b，用pow一直不对，在群里问求助dalao，被告知手写快速幂不就好了，那个时候还不懂快速幂是啥，自学的时候也没理解，后来又遇到这样的题，再去学就懂了，果然不要失去信心，慢慢学。。。
   a的b次方怎么求：pow（a, b）是数学头文件math.h里面有的函数，可是它返回值是double类型，数据有精度误差
   （3） 解释：在求解同余方程时，常常会遇到 a^b%c 的问题，根据模运算的分配律，对这个步骤进行简化（二分和递归）……例：求2^6, 即2^3 * 2^3； 求2^5, 即2*2^4
   b是奇数：a^b = a * a^(b-1)
   b是偶数：a^b = a^(b/2) * a^(b/2)
   理解了这些以后，递归就好了
   快速幂

//递归写法
unsigned long long a, b;
int pow_mod(unsigned long long a, unsigned long long b, int c)
{
    if(b==0) return 1;
    if(b&1) return a*pow_mod(a, b-1, c)%c;
    else
    {
        unsigned long long s=pow_mod(a, b/2, c)%c;
        return s*s%c;
    }
}

4. 同余和逆
   （1）a≡b(mod n)：a和b除以n的余数相同 <=> a-b是n的整数倍
   （2）b=1时，ax≡1(mod n)的解称为a关于模n的逆，它类似于实数运算中的“倒数”概念。当gcd(a, n)=1时，该方程有唯一解，否则无解
   逆

五、补充知识

1. 例10-1 UVA11582：斐波那契数列对任意数取模，其余数一定会出现循环 用到了快速幂
2. 例10-5 UVA12716：
   （1）异或（xor）是一个数学运算符。它应用于逻辑运算。异或的数学符号为“⊕”，计算机符号为“xor”。其运算法则为： a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)
   如果a、b两个值不相同，则异或结果为1。如果a、b两个值相同，异或结果为0。
   （2）根据 T xor T = 0, a xor b = c, T xor 0 = T
   => a xor b xor a = c xor a
   => b = a xor c
   （3）小结论：要使得 gcd(a, b)==a^b, 则 gcd(a, b)==a-b ==a^b
3. << : 左移，二进制位移操作（相当于*2）
   1< b&1即b%2==1
   b>>=1即b=b>>1即b=b/2（右移，相当于/2）
4. 科学计数法：
   1e5 == 1*(10^5)
   5e7 == 5*(10^7)