玩转 matlab 之二维 gauss 数值积分公式使用及 matlab 源代码(1)-常量区间
文章目录
- 一. 标准区间
- 二. 一般区间
- 三. 数值实验(没有编程的计算是不完整的)
- 四. 总结和下节预告
- 五. matlab源代码
一. 标准区间
按照一维情况类似方式，首先给出如下二重积分公式：
I = ∫ − 1 1 d x ∫ − 1 1 f ( x , y ) d y = Σ k = 1 m Σ l = 1 m A k l f ( x k , y l ) . I = \int_{-1}^1dx\int_{-1}^1 f(x,y)dy=\Sigma_{k=1}^m\Sigma_{l=1}^mA_{kl}f(x_k,y_l). I=∫−11dx∫−11f(x,y)dy=Σk=1mΣl=1mAklf(xk,yl).
这是标准的二维gauss积分 m × m m\times m m×m (即 x 轴和 y 轴分别取 m 个点对应 m 2 m^2 m2个点)公式的表达式，其中， x k l x_{kl} xkl 称作gauss积分点， A k l A_{kl} Akl称作 x k l x_{kl} xkl 点处的权重。 m = 1 , 2 , 3 m=1,2,3 m=1,2,3 时候草图如下所示：
下面给出部分gauss积分点和权重对应列表
| gauss点个数 m 2 ( m × m ) m^2(m\times m) m2(m×m) | gauss 点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi) | 权重 A i A_i Ai | 精度(2m-1) |
|---|---|---|---|
| 1 ( 1 × 1 1\times 1 1×1) | x 1 = y 1 = 0 x_1=y_1=0 x1=y1=0 | A 1 A_1 A1=4 | 1 |
| 4 ( 2 × 2 2 \times 2 2×2) | x 1 = − 1 / 3 , y 1 = − 1 / 3 x_{1}=-1/\sqrt{3},y_{1}=-1/\sqrt{3} x1=−1/3,y1=−1/3 x 2 = 1 / 3 , y 2 = − 1 / 3 x_{2}=1/\sqrt{3},y_{2}=-1/\sqrt{3} x2=1/3,y2=−1/3 x 3 = 1 / 3 , y 3 = 1 / 3 x_{3}=1/\sqrt{3},y_{3}=1/\sqrt{3} x3=1/3,y3=1/3 x 4 = − 1 / 3 , y 4 = 1 / 3 x_{4}=-1/\sqrt{3},y_{4}=1/\sqrt{3} x4=−1/3,y4=1/3 |
A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = 1 A_1=A_2=A_3=A_4=1 A1=A2=A3=A4=1 | 3 |
| 9 ( 3 × 3 3 \times 3 3×3) 令 g p t = 3 / 5 gpt=\sqrt{3/5} gpt=3/5 |
x 1 = − g p t , y 1 = − g p t x_1=-gpt,y_1=-gpt x1=−gpt,y1=−gpt x 2 = g p t , y 2 = − g p t x_2=gpt,y_2=-gpt x2=gpt,y2=−gpt x 3 = g p t , y 3 = g p t x_3=gpt,y_3=gpt x3=gpt,y3=gpt x 4 = − g p t , y 4 = g p t x_4=-gpt,y_4=gpt x4=−gpt,y4=gpt x 5 = 0 , y 5 = − g p t x_5=0,y_5=-gpt x5=0,y5=−gpt x 6 = g p t , y 6 = 0 x_6=gpt,y_6=0 x6=gpt,y6=0 x 7 = 0 , y 7 = g p t x_7=0,y_7=gpt x7=0,y7=gpt x 8 = − g p t , y 8 = 0 x_8=-gpt,y_8=0 x8=−gpt,y8=0 x 9 = 0 , y 9 = 0 x_9=0,y_9=0 x9=0,y9=0 |
A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = 25 / 81 A_1=A_2=A_3=A_4=25/81 A1=A2=A3=A4=25/81 A 5 = A 6 = A 7 = A 8 = 40 / 81 A_5=A_6=A_7=A_8=40/81 A5=A6=A7=A8=40/81 A 9 = 64 / 81 A_9=64/81 A9=64/81 |
5 |
一般二重积分近似值也就是使用 2 × 2 , 3 × 3 2\times 2,\quad 3\times 3 2×2,3×3 公式就完全足够了。所以不需要太多的点，徒增计算量。因此就可以得到gauss积分的坐标表达式为:
I = ∫ − 1 1 d x ∫ − 1 1 f ( x , y ) d y = Σ i = 1 m 2 A i f ( x i , y i ) . I = \int_{-1}^1dx\int_{-1}^1 f(x,y)dy=\Sigma_{i=1}^{m^2}A_{i}f(x_i,y_i). I=∫−11dx∫−11f(x,y)dy=Σi=1m2Aif(xi,yi).
二. 一般区间
对于一般区间，先考虑区间端点为常量情况（下一节介绍区间为变量情况），即
I = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y . I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy. I=∫abdx∫cdf(x,y)dy.
其中 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d 都是已知常数。与一维情况类似，只需要做变量变换，于是 [ s , t ] ∈ [ − 1 , 1 ] × [ − 1 , 1 ] [s,t]\in[-1,1]\times [-1,1] [s,t]∈[−1,1]×[−1,1]（通俗讲就是换元法）
令 x = b + a + ( b − a ) s 2 , 则 d x = b − a 2 d s , y = d + c + ( d − c ) t 2 , 则 d y = d − c 2 d t . 记 j a c = ( b − a ) ( d − c ) 4 , 则 d x d y = j a c × d s d t 令 \quad x =\frac{b+a+(b-a)s}{2},\qquad 则\quad dx=\frac{b-a}{2}ds,\\ \quad y =\frac{d+c+(d-c)t}{2},\qquad 则\quad dy=\frac{d-c}{2}dt.\\ 记\qquad jac = \frac{(b-a)(d-c)}{4},\qquad 则 \quad dxdy=jac\times dsdt 令x=2b+a+(b−a)s,则dx=2b−ads,y=2d+c+(d−c)t,则dy=2d−cdt.记jac=4(b−a)(d−c),则dxdy=jac×dsdt
于是二重积分就变成了
I = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y = j a c × ∫ − 1 1 d s ∫ − 1 1 f ( b + a + ( b − a ) s 2 , d + c + ( d − c ) t 2 ) d t . = j a c × Σ i = 1 m 2 A i f ( b + a + ( b − a ) s i 2 , d + c + ( d − c ) t i 2 ) . I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy =jac\times\int_{-1}^1ds\int_{-1}^1f(\frac{b+a+(b-a)s}{2},\frac{d+c+(d-c)t}{2})dt.\\=jac\times\Sigma_{i=1}^{m^2}A_{i}f(\frac{b+a+(b-a)s_i}{2},\frac{d+c+(d-c)t_i}{2}). I=∫abdx∫cdf(x,y)dy=jac×∫−11ds∫−11f(2b+a+(b−a)s,2d+c+(d−c)t)dt.=jac×Σi=1m2Aif(2b+a+(b−a)si,2d+c+(d−c)ti).
其中 ( s i , t i ) (s_i,t_i) (si,ti) 即为上表中的 gauss 节点，对应的权重因子为 A i A_i Ai。
三. 数值实验(没有编程的计算是不完整的)
使用matlab2018a 计算结果，并且与matlab自带函数 integral2 计算的结果进行比较给出误差。
算例如下:
计 算 定 积 分 I = ∫ a b d x ∫ c d f ( x , y ) d y 计算定积分 I = \int_{a}^bdx\int_{c}^d f(x,y)dy 计算定积分I=∫abdx∫cdf(x,y)dy
其中， a = 1.4 , b = 2 , c = 1 , d = 1.5 , f ( x , y ) = l n ( x + 2 ∗ y ) , l n a=1.4,b=2,c=1,d=1.5,f(x,y)=ln(x+2*y), ln a=1.4,b=2,c=1,d=1.5,f(x,y)=ln(x+2∗y),ln是以e为底对数函数。使用matlab的integral2 函数计算结果为 I = 0.429554527548275 I =0.429554527548275 I=0.429554527548275.
自己编程计算结果如下：
| 高斯点数 m 2 ( m × m ) m^2(m\times m) m2(m×m) | 积分值 I m I_m Im | 误差norm( I m − I I_m-I Im−I) |
|---|---|---|
| 4( 2 × 2 2\times 2 2×2) | 0.429556088022242 | 1.56E-06 |
| 9( 3 × 3 3\times 3 3×3) | 0.429554531152490 | 3.60E-09 |
四. 总结和下节预告
- 从实验数据可以发现，二重gauss数值积分使用 2 × 2 2\times 2 2×2 4个点的情况下，结果已经很准确了，达到了1e-6的误差，所以在实际计算中，一般使用4点或者9点的gauss公式就可以满足要求了。
- 下一节介绍当积分区间在变系数下的二重gauss公式的计算方法
- 欢迎与我交流，数值分析，矩阵计算，PDE数值解等，QQ群 315241287
五. matlab源代码
clc;clear;
% compute int_a^b [int_c)^d f(x,y)]
% (x,y) \in [a,b] X [c,d]
%% setup the integral interval and gauss point and weight
a = 1.4; b = 2;
c = 1; d =1.5;
fun=@(x,y) log(x+2*y);
fprintf('***********************************************\n')
for gauss = 2:3 % m points rule in 2 dimensional case
if gauss == 2
fprintf('******* 2X2 points gauss rule result *******')
gpt=1/sqrt(3);
s(1) = -gpt; t(1) = -gpt;
s(2) = gpt; t(2) = -gpt;
s(3) = gpt; t(3) = gpt;
s(4) = -gpt; t(4) = gpt;
wt = [1 1 1 1];
elseif gauss == 3
gpt=sqrt(0.6);
fprintf('******* 3X3 points gauss rule *******')
s(1) = -gpt; t(1) = -gpt; wt(1)=25/81;
s(2) = gpt; t(2) = -gpt; wt(2)=25/81;
s(3) = gpt; t(3) = gpt; wt(3)=25/81;
s(4) = -gpt; t(4) = gpt; wt(4)=25/81;
s(5) = 0.0; t(5) = -gpt; wt(5)=40/81;
s(6) = gpt; t(6) = 0.0; wt(6)=40/81;
s(7) = 0.0; t(7) = gpt; wt(7)=40/81;
s(8) = -gpt; t(8) = 0.0; wt(8)=40/81;
s(9) = 0.0; t(9) = 0.0; wt(9)=64/81;
end
%% 区间变换到 [-1,1] X [-1,1]
jac = (b-a)*(d-c)/4;
x = (b+a+(b-a)*s)/2;
y = (d+c+(d-c)*t)/2;
f = fun(x,y);
comp = wt(:) .* f(:) .* jac;%无论一个向量是行还是列，写成x(:)都会变成列向量
format long
comp = sum(comp)
exact = integral2(fun,a,b,c,d);
fprintf('the error is norm(comp-exact)=%10.6e\n\n',norm(comp-exact))
end
fprintf('******************************************\n')
fprintf('matlab built-in function ''integral2''\n')
exact
format short