设计一个随机洗牌的算法

问题：给定一个有序序列1~n，要你将其完全打乱，要求每个元素在任何一个位置出现的概率均为1/n。

解决方案：依次遍历数组，对第n个元素，以1/n的概率与前n个元素中的某个元素互换位置，最后生成的序列即满足要求，1/n的概率可通过rand() % n实现。见如下程序：

void swap(int* p, int* q)

{

    int tmp = *p;

    *p = *q;

    *q = tmp;

}

 

void shuffle(int *arr, int n)

{

    int i;

    for(i = 0; i < n; i++) {

        int idx = rand() % (i + 1); //选取互换的位置

        swap(&arr[idx], &arr[i]);

    }

}

 

 使用数学归纳法证明：

l  当n=1时，idx必为0，所以元素arr[0]在任何一个位置的概率为1/1，命题成立。

l  假设当n=k时，命题成立，即n=k时，原数组中任何一个元素在任何一个位置的概率为1/k。

 则当n=k+1时，当算法执行完k次时，前k个元素在前k个位置的概率均为1/k。

 当执行最后一步时，前k个元素中任何一个元素被替换到第k+1位置的概率为：(1-1/(k+1)) * 1/k = 1/(k+1); 在前面k个位置任何一个位置的概率为(1-1/(k+1)) * 1/k = 1/(k+1);

故前k个元素在任意位置的的概率都为1/(k+1)

 所以，对于前k个元素，它们在k+1的位置上概率为1/(k+1)。

 对于第k+1个元素，其在原位置的概率为1/k+1，在前k个位置任何一个位置的概率为：(1-k/（k+1)） * (1/k)=1/（k+1），所以对于第k+1个元素，其在整个数组前k+1个位置上的概率也均为1/k+1。

 综上所述，对于任意n，只要按照方案中的方法，即可满足每个元素在任何一个位置出现的概率均为1/n。

 

扩展：一道google面试题

给定一个未知长度的整数流（数目大于1000），如何从中随机选取1000个随机数。

 

解决方法：

l  定义长度为1000的数组，对于数据流中的前1000个关键字，显然都要放到数组中。

l  对于数据流中的的第n（n>1000）个关键字，则这个关键字被随机选中的概率为 1000/n。故以 1000/n 的概率用这个关键字去替换数组中的一个。这样就可以保证所有关键字都以 1000/n的概率被选中。对于后面的关键字都进行这样的处理，这样就可以保证数组中总是保存着1000个随机关键字。

 

注：以1000/n的概率选择一个数替换，可通过rand() % n实现，则这个数被替换到前1000个位置中的概率为1000/n。