C++泰勒公式实现反余弦函数

    手动实现反三角函数这些其实很多情况下是没有意义的，因为这些都是封装好的！可是就在发表这篇文章的前几天，就有人让我帮他实现，很多搞硬件的都会遇到这种情况………这个其实很容易，我用迈克劳林公式实现之后，突然又有点不明白，比如我们要求acos(0.6)的值，按照泰勒公式应该是求acos在0.6的n阶导数，怎么能只用acos在0处的n阶导数直接求得？直到几天后的今天我才想明白。

泰勒公式是这样的：

其中是的高阶无穷小。其中迈克劳林公式是a为0时的特殊情况。如果仅仅是从这里来理解的话，确实，只有x趋向于a的时候，泰勒公式才能达到任意的精度。否则无穷小就无从谈起了。

但是，其实只是一种定性的描述，他被称为佩亚诺余项，我们充其量只能得出：当x趋向于a时，余项可以无穷小。但是却无法知道，当x不趋向与a时，余项是不是依然能足够小，这个条件是不充分的，为此，我们还需要定量的描述余项，来研究它的性质。

不过至少在发这篇文章的时候，百度百科和维基百科上的泰勒中值定理的介绍全是错的，实际上那是拉格朗日余项。真正的泰勒中值定理是更普适性的，像拉格朗日余项，柯西余项……都是它的特殊情况！

下面我们用拉格朗日余项来研究：

其实当时（这里ξ是x₀与x之间的某个值），此余项就是拉格朗日余项，他之所以重要，是因为这里的x不需要趋向x0，因为它可以由柯西中值定理证得，而柯西中值定理实际上对区间两个端点距离是不做任何要求的！

于是我们可以看到只要n足够大，拉格朗日余项会趋向无穷小①，所以当我们只在0处展开泰勒公式求一个函数的近似值时，只要展开项数足够多，依然可以达到任意精度！

实际上我们看到，泰勒公式的精度可以用两种方式达到：x与x0的间距足够小或者是展开项数足够多。

以上是理论证明，但是它的实现却很简单，可以查一下反三角函数acos的泰勒展开：

arccos x = π/2 - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1) 

然后用C实现：

float aacos(float x){
    unsigned char i;
    float ans=x,t1=1,t2=x;x*=x;
    for(i=3;i<51;i+=2){
        t1*=(float)(i-2)/(float)(i-1);
        t2*=x;
        ans+=(t1*t2/(float)i);
    }
    return ans=1.5708-ans;
}

可以用C的封装好的acos（）函数测试一下：

#include 
#include 
float aacos(float x){
    unsigned char i;
    float ans=x,t1=1,t2=x;x*=x;
    for(i=3;i<51;i+=2){
        t1*=(float)(i-2)/(float)(i-1);
        t2*=x;
        ans+=(t1*t2/(float)i);
    }
    return ans=1.5708-ans;
}
int main(){
    float ang;
    while(scanf("%f",&ang)!=EOF)
        printf("%.5f   %.5f\n",aacos(ang),acos(ang));
    return 0;
}

可以发现任意输入一个数，几乎结果时一模一样的，而这里我们只展开了前50项。

之所以用float型以及为何如此紧凑，是因为当一个人真正面对不得不手打一些数学函数的时候，一般是不会有double型的，而且能用char就尽量用char！

同样，我们还可以实现sqrt（）函数，log（）函数以及一些其他的数学函数。

ps：

其实①的论证还不严谨，它也只是看起来像无穷小而已，要想真正达到无穷小，必须说明分子是有上界的，而我还不能说明，不过当我发现的时候，我会重新修改！