矩阵的特征值和特征向量 &知识点
文章目录
- 特征值与特征向量定义
- 补充几个概念
- 相似矩阵的特征性质
- 特征多项式的展开
- 几何重数和代数重数
- 命题
- 证明
特征值与特征向量定义
A A A是数域上的 n n n级矩阵，若 K n K^n Kn中有非零向量 α \alpha α,使得 A α = λ 0 α , λ 0 ∈ K A\alpha=\lambda_0\alpha,\lambda_0\in K Aα=λ0α,λ0∈K则称 λ 0 \lambda_0 λ0是 A A A的一个特征值， α \alpha α是 A A A的属于特征值 λ 0 \lambda_0 λ0的一个特征向量
注意！
- 零向量不是 A A A的特征向量
- k ≠ 0 k\ne 0 k̸=0时， k α k\alpha kα也是A的属于 λ 0 \lambda_0 λ0的特征向量
补充几个概念
特征多项式： ∣ λ I − A ∣ |\lambda I-A| ∣λI−A∣
特征子空间：设 λ i \lambda_i λi是 A A A的一个特征值，把齐次线性方程组 ( λ i I − A ) X = 0 (\lambda_i I-A)X=0 (λiI−A)X=0的解空间称为 A A A的属于 λ i \lambda_i λi的特征子空间
相似矩阵的特征性质
若 A ∼ B A\sim B A∼B，则
- ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ I − B ∣ |\lambda I-A|=|\lambda I-B| ∣λI−A∣=∣λI−B∣
- A , B A,B A,B有相同的特征值，重数也一样一样的
特征多项式的展开
P 271 P_{271} P271
- A A A的特征多项式是一个 n n n次多项式
- λ n \lambda^n λn的系数是1
- λ n − 1 \lambda^{n-1} λn−1的系数是 − t r ( A ) -tr(A) −tr(A)
- 常数项为 ( − 1 ) n ∣ A ∣ (-1)^n|A| (−1)n∣A∣
- λ n − k \lambda^{n-k} λn−k的系数为 ( − 1 ) k ⋅ ∑ A 所 有 k 阶 主 子 式 (-1)^k\cdot\sum A所有k阶主子式 (−1)k⋅∑A所有k阶主子式，即 ( − 1 ) k ∑ 1 ≤ j 1 ′ < . . . < j k ′ ≤ n A ( j 1 ′ j 2 ′ . . . j k ′ j 1 ′ j 2 ′ . . . j k ′ ) (-1)^k\sum\limits_{1\le j_1'<...<j_k'\le n}A\begin{pmatrix}j_1'&j_2'&...&j_k'\\j_1'&j_2'&...&j_k'\end{pmatrix} (−1)k1≤j1′<...<jk′≤n∑A(j1′j1′j2′j2′......jk′jk′)
这里说明了两个结论：若A的在复数域上的特征值为 λ 1 , . . . , λ n \lambda_1,...,\lambda_n λ1,...,λn，则 - ∣ A ∣ = λ 1 . . . λ n |A|=\lambda_1...\lambda_n ∣A∣=λ1...λn
- t r ( A ) = λ 1 + . . . + λ n tr(A)=\lambda_1+...+\lambda_n tr(A)=λ1+...+λn
几何重数和代数重数
A A A是实数域上的n级矩阵， λ 1 \lambda_1 λ1为 A A A的一个特征值
- A A A的属于 λ 1 \lambda_1 λ1的特征子空间的维数称为 λ 1 的 \lambda_1的 λ1的 几 何 重 数 几何重数 几何重数
- 把 λ 1 \lambda_1 λ1作为 A A A的特征多项式的根的重数称为 λ 1 的 \lambda_1的 λ1的 代 数 重 数 代数重数 代数重数(简称为重数)
命题
设 λ 1 ∈ K \lambda_1\in K λ1∈K是A的一个特征值，则 λ 1 \lambda_1 λ1的几何重数 ≤ 代 数 重 数 \le代数重数 ≤代数重数
证明
- 首先，设A的属于特征值 λ 1 \lambda_1 λ1的特征子空间 W 1 W_1 W1的维数为 r r r
- 在 W 1 W_1 W1中取一个基 α 1 , α 2 , . . . , α r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r α1,α2,...,αr
- 将以上基扩充为 K n K^n Kn中的一组基 α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , . . . , β n − r \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_{n-r} α1,α2,...,αr,β1,...,βn−r
- 令 P = ( α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , . . . , β n − r ) P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_{n-r}) P=(α1,α2,...,αr,β1,...,βn−r)则 P P P是可逆矩阵，有 P − 1 A P = P − 1 ( A α 1 , A α 2 , . . . , A α r , A β 1 , . . . , A β n − r ) P^{-1}AP=P^{-1}(A\alpha_1,A\alpha_2,...,A\alpha_r,A\beta_1,...,A\beta_{n-r}) P−1AP=P−1(Aα1,Aα2,...,Aαr,Aβ1,...,Aβn−r) = P − 1 ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , . . . , λ 1 α r , A β 1 , . . . , A β n − r ) =P^{-1}(\lambda_1\alpha_1,\lambda_1\alpha_2,...,\lambda_1\alpha_r,A\beta_1,...,A\beta_{n-r}) =P−1(λ1α1,λ1α2,...,λ1αr,Aβ1,...,Aβn−r) = ( λ 1 P − 1 α 1 , λ 1 P − 1 α 2 , . . . , λ 1 P − 1 α r , P − 1 A β 1 , . . . , P − 1 A β n − r ) =(\lambda_1P^{-1}\alpha_1,\lambda_1P^{-1}\alpha_2,...,\lambda_1P^{-1}\alpha_r,P^{-1}A\beta_1,...,P^{-1}A\beta_{n-r}) =(λ1P−1α1,λ1P−1α2,...,λ1P−1αr,P−1Aβ1,...,P−1Aβn−r)
- 又 P − 1 P = I P^{-1}P=I P−1P=I，即 P − 1 ( α 1 , α 2 , . . . , α r , β 1 , . . . , β n − r ) P^{-1}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_{n-r}) P−1(α1,α2,...,αr,β1,...,βn−r) = ( P − 1 α 1 , P − 1 α 2 , . . . , P − 1 α r , P − 1 β 1 , . . . , P − 1 β n − r ) =(P^{-1}\alpha_1,P^{-1}\alpha_2,...,P^{-1}\alpha_r,P^{-1}\beta_1,...,P^{-1}\beta_{n-r}) =(P−1α1,P−1α2,...,P−1αr,P−1β1,...,P−1βn−r) = I =I =I ⇒ \Rightarrow ⇒ ( P − 1 α 1 , P − 1 α 2 , . . . , P − 1 α r ) = ( ε 1 , ε 2 , . . . , ε r ) (P^{-1}\alpha_1,P^{-1}\alpha_2,...,P^{-1}\alpha_r)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_r) (P−1α1,P−1α2,...,P−1αr)=(ε1,ε2,...,εr) P − 1 A P = ( λ 1 ε 1 , λ 1 ε 2 , . . . , λ 1 ε r , P − 1 A β 1 , . . . , P − 1 A β n − r ) P^{-1}AP=(\lambda_1\varepsilon_1,\lambda_1\varepsilon_2,...,\lambda_1\varepsilon_r,P^{-1}A\beta_1,...,P^{-1}A\beta_{n-r}) P−1AP=(λ1ε1,λ1ε2,...,λ1εr,P−1Aβ1,...,P−1Aβn−r)令其为 ( λ 1 I r B 0 C ) \begin{pmatrix}\lambda_1I_r&B\\0&C\end{pmatrix} (λ1Ir0BC)
- 即有 ( λ 1 I r B 0 C ) ∼ A \begin{pmatrix}\lambda_1I_r&B\\0&C\end{pmatrix}\sim A (λ1Ir0BC)∼A
- 由于相似矩阵特征多项式相同，则有 ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ I r − λ 1 I r − B 0 λ I n − r − C ∣ |\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda I_r-\lambda_1I_r&-B\\0&\lambda I_{n-r}-C\end{vmatrix} ∣λI−A∣=∣∣∣∣λIr−λ1Ir0−BλIn−r−C∣∣∣∣ = ∣ λ I r − λ 1 I r ∣ ⋅ ∣ λ I n − r − C ∣ =|\lambda I_r-\lambda_1I_r|\cdot|\lambda I_{n-r}-C| =∣λIr−λ1Ir∣⋅∣λIn−r−C∣ = ( λ − λ 1 ) r ∣ λ I n − r − C ∣ =(\lambda-\lambda_1)^r|\lambda I_{n-r}-C| =(λ−λ1)r∣λIn−r−C∣因此 λ 1 \lambda_1 λ1的代数重数 ≥ r \ge r ≥r