有没有那种方式可以将高维数据进行可视化？比如保持数据结构不变将高维数据映射到低维空间？

高维数据可视化在Handbook of Data Visualization中有专门一章来表述。下面论述的内容全部来自由 Theus 撰写的手册第六章High-Dimensional Data Visualization(Theus, 2008)。下面这张图能够比较好地概括这一章，题主关心的主要是数据挖掘，所以可以着重看上面的三个分支。如果想看相关性，Mosaic 和 Trellis 很不错。平行坐标图 (Parallel Coordinate Plots) 比较适合聚类 (clustering)，寻找极端值(outlier) 以及观察多个数据之间的结构。数据维数很高的时候也只能用平行坐标。Grand Tour 的优点同样在于挖掘结构。

第一种方法叫 Mosaic 图，适合于要研究的都是定性变量的情况。像下面这张图，四周是四个定性变量：水的硬度分三档；温度有高低；偏好有两种；是否用户又可以划开两块。每一个方块群都代表了控制两个变量以后样本的分布，方块的大小代表了具备对应特征的样本数量。四维或以下的数据用这种画法会很方便。

如果因变量是连续变量，也可以用马赛克图画。下面这张图是发病率的可视化，影响因素有三个：风险因子、防疫计划和抗生素注射，然后可以用红色占比来代表不同群体内部的发病率，图非常漂亮。这种图很适合在开挖之前用来得到一些定性的想法。

也可以把各种拟合优度、显著性之类的指标放进去，比如这张图：

和 Mosaic 图相类似的有 Trellis 图，它的大概形状和 Mosaic 比较相似，都是先对几个定性变量取条件（一般是两个），然后在这两个变量的交叉格里表现剩余数据的形状。不过两个还是有不同，简单来说，Mosaic 图有一个递归的层次，看的时候先找到一个变量的取值，再找到下一个，再下一个，像剥洋葱一样。看 Trellis 图的时候我们就知道找网格了。像上面水资源那个，如果画 Trellis 图，应该是下面这张这样的。从中可以挖掘不少信息，比如说我们可以猜测，当水温低、水质软的时候，会员和偏好很有可能是独立的。

如果要用的数据都是连续变量，不好画，可以考虑把连续变量分割成几个区间再画，具体划多少个区间、每个画多大，都是要按照实际灵活调整的问题。下面是一张更漂亮的 Trellis 图，可视化了五维空间数据，其中数据点不同的颜色代表了不同的车轮数量。这里要处理的车重、MPG 等指标都可视为连续的，但灵活处理表现形式，无论是 Mosaic 图还是 Trellis 图都可以发挥出特别强大的功能。

平行坐标图在数据挖掘中也很常见。在平行坐标里，每个数据样本点都变成了一条折线，这条折线在不同坐标轴上取值就是原始坐标值。一般来看，平行坐标图是这样子的：

在平行坐标图中，极端值会特别明显，像上图中左上第二条坐标轴：每加仑行使高速公路里程，可以很明显看到有几个 outlier。用平行坐标做聚类也比较方便，这和寻找极端值的原理是一致的。平行坐标轴处理高维数据也特别方便。如果数据有十几个纬度，而且都要画出来，可能就只有平行坐标能胜任了。如果数据点特别多，或者维度特别多，感觉图表已经无法清晰辨认时，可以做一点透明度处理，让高密度区域着色更浓，低密度区域透明度更高，这样就可以展示大量高维数据。

如果感觉太繁冗，可以只画出一些特定的指标，比如说最大值、最小值、中位数，等等。下图是分别画出集中指标的平行坐标图。

最后一种方法叫 Grand Tour。它的定义没有前两个那么直观，所谓 Grand Tour，是一族高维空间向低位空间的稠密投影，这个投影组的参数我们一般取成时间，也有取成其它一些参数的。像上面那张汽车数据图，就可以画出下面几种 Grand Tour，圈圈的颜色依然代表轮胎数量。Grand Tour 在挖掘中用得很多，在展示中很少用，它也比较适合处理聚类和分离问题。至于旅行的具体方向和变量选择，有很多种算法来选择。

最后，如果重点在可视化，其实还有蛮多其它方法来定性看数据的，比如最简单的散点图，虽然在高维情况效果不好，但通过切片、放缩等方法也可以起到一定作用。雷达图，还有类似的星型图，也可以展示高维数据，而且实现比较简单。类似的还有很多奇思妙想的方法，比如 Andrew‘s Curve，用一组三角函数的值来展示高维数据，或者 Chernoff 脸，用一张脸上五官的尺寸和形状来展示高维数据的特点。这些都可以百度到。如果不单纯是为了画图而是为了找降维算法，那就更多了，几十种肯定是有的... 建议找专业书看。最后，关于上面几种可视化方法的进一步信息，请参见手册原文，许多细节都需要算法来确定。

参考文献

Theus M. High-dimensional data visualization[M]//Handbook of data visualization. Springer Berlin Heidelberg, 2008: 151-178.