第五节、矩阵分解之LU分解

一、A的LU分解：A=LU

　　我们之前探讨过矩阵消元，当时我们通过EA=U将A消元得到了U，这一节，我们从另一个角度分析A与U的关系

　　假设A是非奇异矩阵且消元过程中没有行交换，我们便可以将矩阵消元的EA=U形式改写成A=LU形式，其中E与L互为逆矩阵，且L是下三角矩阵

　　这么写有什么好处？

　　当我们使用EA=U时，E是由E1E2...En相乘得到的，我们发现E的每一行中都包含有前面操作的副操作，举个例子，将2个第一行加到第二行得到新的第二行，再将2个第二行加到第三行得到新的第三行，此时第三行中包含有4个第一行，这种累加效应让我们无法直接从E中看出消元的具体过程（尽管它包含了整个消元过程）。

　　而当我们使用A=LU时，U是一个上三角阵，L是一个下三角阵，消元的每一步并不会叠加在一起，这使得我们可以清楚地分析消元的过程。

　　LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式，我们只需要将消元过程中的消元乘数写在相应的位置就可以得到L，使用这种方式可以减少消元的操作步骤，且使得消元思路清晰

二、EA=LU

　　前面的LU分解的条件是不进行行交换，现在我们来讨论一下允许行交换的情况

　　好吧，我觉得看到标题大家应该就知道方法了，就是现将A进行行交换然后再LU分解（E为置换矩阵）

 

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