1.理论基础
粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是计算智能领域中的一种生物启发式方法，属于群体智能优化算法的一种，常见的群体智能优化算法主要有如下几类：
（1）蚁群算法（Ant Colony Optimization，简称ACO）[1992年提出]；
（2）粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，简称PSO）[1995年提出]（简单易于实现，也是目前应用最为广泛的群体智能优化算法）；
（3）菌群优化算法（Bacterial Foraging Optimization，简称BFO）[2002年提出]；
（4）蛙跳算法（Shuffled Frog Leading Algorithm，简称SFLA）[2003年提出]；
（5）人工蜂群算法（Artificial Bee Colony Algorithm，简称ABC）[2005年提出]；
除了上述几种常见的群体智能算法以外，还有一些并不是广泛应用的群体智能算法，比如萤火虫算法、布谷鸟算法、蝙蝠算法以及磷虾群算法等等。
而其中的粒子群优化算法（PSO）源于对鸟类捕食行为的研究，鸟类捕食时，找到食物最简单有限的策略就是搜寻当前距离食物最近的鸟的周围。
举个通俗的例子：
一群鸟在寻找食物，在这个区域内有一个食物，所有的鸟都不知道食物在哪里，但食物发出了香味，鸟通过香味的浓烈能判断出自己的当前位置距离食物有多远，同时鸟群之间是可以交流并告知离食物最近的鸟的位置的。试想一下这个时候会发生什么？
鸟甲：哈哈哈，原来我离食物最近！
鸟乙、丙、丁…:我得赶紧往鸟甲那里过去看看！
同时各自鸟在位置不停变化的时候，离食物的距离也不断的变化，所以一定有过离食物最近的位置，这是他们的一个参考。
鸟某某：我刚才的位置好像离食物很近了，我得往那里再靠近点！
通过这样一个过程，不断的变化，最终鸟群会向食物方向聚集，达到目标。在这个变化的过程中，影响鸟的运动状态变化的有两个因素：
- 离食物最近的鸟的位置
- 自己之前达到过的离食物最近的位置
而鸟的每次的位置变化，除了考虑以上的两个因素还有一个因素就是惯性。而对位置的变化，通过变化量（速度）来表示。
通过以上的例子，我们可以把鸟抽象为没有质量和体积的微粒(点)，并延伸到N维空间，粒子I 在N维空间的位置表示为矢量Xi＝(x1，x2，…，xN)，飞行速度表示为矢量Vi＝(v1，v2，…，vN)．每个粒子都有一个由目标函数决定的适应值(fitness value)，并且知道自己到目前为止发现的最好位置(pbest)和现在的位置Xi．这个可以看作是粒子自己的飞行经验．除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(gbest)(gbest是pbest中的最好值)．这个可以看作是粒子同伴的经验．粒子就是通过自己的经验和同伴中最好的经验来决定下一步的运动。归结为下面的两个公式：
(公式-1）
（公式-2）
其中，
为惯性权重因子，（什么是权重因子，这个后面会讲到，此处大概知道有这么一个参数即可）；d=1,2，…，D；i=1,2，…，n；k为当前迭代次数；Vid为粒子的速度；c1和c2是非负的常数，称为加速因子；r1和r2是分布于[0,1]区间的随机数。为了防止粒子的满目搜索，一般建议限制位置和速度在一定的区间。
2.粒子群寻优算法的案例与实现
假设有如下非线性函数，需要在一定范围内找出最大值和最大值的位置，本文用Python实现。
（公式-3）
我们先通过python把上面函数使用matplotlib把它画处理，让我们有个直观的感受。
# -*- coding: utf-8 -*- from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np fig = plt.figure() ax = Axes3D(fig) X = np.arange(-2, 2, 0.05) Y = np.arange(-2, 2, 0.05) X, Y = np.meshgrid(X, Y) Z = np.sin(np.sqrt(X**2+Y**2))/np.sqrt(X**2+Y**2)+np.exp((np.cos(2*np.pi*X)+np.cos(2*np.pi*Y))/2)-2.71289 ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='hot') plt.show()
此处使用mpl_toolkits.mplot3d画3D图，在代码中，分别使用numpy中的arange创建等差长度为0.05的数据点向量，区间为[-2,2]之间，然后使用meshgrid将向量转换给对应的矩阵，这样的话，后面的函数式中就可以使用np中的三角函数和数学函数了，如果不这样的话，还得一个一个点的根据公式去做循环，拼接Z的向量点。
运行出来的图如下：
从函数图形中可以看出，这个函数有很多的局部极大值，而真正的极限位置就是在（0,0），极大值为1.005。下面就通过粒子群算法来找寻这个极大值和极大值的位置。根据粒子群算法函数求极值的算法流程如下图所示：
在pycham作为python的IDE中，建立一个名为PSO.py的文件，文件中编写一个名PSO的类。
2.1 参数的设定
设置惯性参数为常数1，也就是公式-1中的为常数1；设置加速度因子为非负的两个常数，公式-1的中的c1和c2；设置迭代次数为300；设置粒子群的规模为20；为了防止粒子的盲目搜索，将位置和速度限制在区间[-2,2]、[-0.5,0.5]；
具体代码如下：
def __init__(self): self.w = self.getweight() self.lr = self.getlearningrate() self.maxgen = self.getmaxgen() self.sizepop = self.getsizepop() self.rangepop = self.getrangepop() self.rangespeed = self.getrangespeed() def getweight(self): # 惯性权重 weight = 1 return weight def getlearningrate(self): # 分别是粒子的个体和社会的学习因子，也称为加速常数 lr = (0.49445,1.49445) return lr def getmaxgen(self): # 最大迭代次数 maxgen = 300 return maxgen def getsizepop(self): # 种群规模 sizepop = 20 return sizepop def getrangepop(self): # 粒子的位置的范围限制,x、y方向的限制相同 rangepop = (-2,2) return rangepop def getrangespeed(self): # 粒子的速度范围限制 rangespeed = (-0.5,0.5) return rangespeed
2.2 种群初始化
随机初始化粒子位置和粒子的速度，并根据适应度函数计算粒子适应度值，我们的适应度函数就是公式-3这个函数。
首先定义一个适应度函数
def func(self,x): # x输入粒子位置 # y 粒子适应度值 if (x[0]==0)&(x[1]==0): y = np.exp((np.cos(2*np.pi*x[0])+np.cos(2*np.pi*x[1]))/2)-2.71289 else: y = np.sin(np.sqrt(x[0]**2+x[1]**2))/np.sqrt(x[0]**2+x[1]**2)+np.exp((np.cos(2*np.pi*x[0])+np.cos(2*np.pi*x[1]))/2)-2.71289 return y
然后初始化粒子和计算适应度值
def initpopvfit(self,sizepop): pop = np.zeros((sizepop,2)) v = np.zeros((sizepop,2)) fitness = np.zeros(sizepop) for i in range(sizepop): pop[i] = [(np.random.rand()-0.5)*self.rangepop[0]*2,(np.random.rand()-0.5)*self.rangepop[1]*2] v[i] = [(np.random.rand()-0.5)*self.rangepop[0]*2,(np.random.rand()-0.5)*self.rangepop[1]*2] fitness[i] = self.func(pop[i]) return pop,v,fitness
2.3 寻找初始化后的极值
def getinitbest(self,fitness,pop): # 群体最优的粒子位置及其适应度值 gbestpop,gbestfitness = pop[fitness.argmax()].copy(),fitness.max() #个体最优的粒子位置及其适应度值,使用copy()使得对pop的改变不影响pbestpop，pbestfitness类似 pbestpop,pbestfitness = pop.copy(),fitness.copy() return gbestpop,gbestfitness,pbestpop,pbestfitness
此处需要分别找到群体极值和个体粒子的极值。
2.4 迭代寻优
通过循环迭代，不断的更新粒子的位置和速度，根据新粒子的适应度值更新个体和群体的极值。这部分的代码如下：
def run(self): pop, v, fitness = self.initpopvfit(self.sizepop) gbestpop, gbestfitness, pbestpop, pbestfitness = self.getinitbest(fitness, pop) result = np.zeros(self.maxgen) for i in range(self.maxgen): # 速度更新 for j in range(self.sizepop): v[j] += self.lr[0] * np.random.rand() * (pbestpop[j] - pop[j]) + self.lr[1] * np.random.rand() * ( gbestpop - pop[j]) v[v < self.rangespeed[0]] = self.rangespeed[0] v[v > self.rangespeed[1]] = self.rangespeed[1] # 粒子位置更新 for j in range(self.sizepop): pop[j] += 0.5 * v[j] pop[pop < self.rangepop[0]] = self.rangepop[0] pop[pop > self.rangepop[1]] = self.rangepop[1] # 适应度更新 for j in range(self.sizepop): fitness[j] = self.func(pop[j]) for j in range(self.sizepop): if fitness[j] > pbestfitness[j]: pbestfitness[j] = fitness[j] pbestpop[j] = pop[j].copy() if pbestfitness.max() > gbestfitness: gbestfitness = pbestfitness.max() gbestpop = pop[pbestfitness.argmax()].copy() result[i] = gbestfitness return result
2.4 结果分析
通过在主函数文件中，实例化PSO类，调用run这个函数，运行上面的代码
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from PSO import * pso = PSO() result = pso.run() plt.figure() plt.plot(result) plt.show()
当迭代了300次之后，画出每代最优个体适应度值的曲线，结果如下：
最终得到的最优个体适应度值为：1.00538866933，对应的粒子位置为：[ 2.37513360e-05 3.41265823e-04]，通过比较，PSO算法能得到最优值，接近函数实际的最优值1.005。
通过以上，证明PSO算法具有较强的函数极值寻优能力。
3.延伸与算法改进
讲到这里，我们再来回顾一下之前粒子更新速度（公式-1）中的这个惯性权重因子，所谓惯性权重因子，体现的是粒子继承上一次迭代速度的能力。较大的一个惯性权重因子有利于全局的搜索，而一个小的惯性权重因子则更加利于局部的搜索。为了更好的平衡算法的全局搜索与局部搜索的能力，常给惯性权重因子改为随迭代次数变化的一个函数，一般常用的惯性权重因子函数有以下几种：
（公式-4）
（公式-5）
（公式-6）
（公式-7）
这几种的变化图如下：
从变化图中，可以看到（公式-5）中，前期变化较慢，取值较大，维持了算法的全局搜索能力；后期变化较快，极大的提高了算法的局部寻优能力，通过这种权重的变化函数，可以取得比固定不变的那种情况要好的效果。