本应该之前整理好的，又拖到现在，不管怎么样继续坚持看下去，从二章开始就越来越不好理解了
整数运算
再次来看之前的一个例子：
root@localhost: lldb (lldb) print (500 * 400) * (300 * 200) (int) $0 = -884901888 (lldb) print ((500 * 400)* 300) * 200 (int) $1 = -884901888 (lldb) print ((200 * 500) * 300) * 400 (int) $2 = -884901888 (lldb) print 400 * (200 * (300 * 500)) (int) $3 = -884901888 (lldb)
还是通过这里例子来看这个部分的知识点
无符号加法
无符号加法原理：
其实每次看到这种原理推导过程自己基本都不怎么愿意去看，不过我们可以通过实际的例子来好好理解，来帮助自己更好的理解
通过一个确定的4位的无符号数来看，如果x = 9 y = 12 x和y的二进制表示分别为[1001] 和 [1100] 他们相加的和为21 这个时候其实超过了我们最开始设定的4位，需要用5位来表示也就是[10101] 如果我们丢掉了最高位，就成了[0101] 转换为十进制就是5 其实这个值的计算结果就是21 对16 求余 得到5是一致的
这个时候我们在来看上面的公式原理，其实就是当你两个数相加已经超过了最大位数的时候，最高位就会被舍弃，即当结果溢时需要舍弃最高位的值
无符号求反
还是先看原理：
这里其实我自己有点小疑惑，因为刚开始的时候，我理解的无符号数求反，是把一个数的二进制表示方式求反得到的值，这样吧，通过一个实际的例子来理解：
对于12 二进制为[1100] 我理解的求反得到的是[0011]这样得到的数是3
但是这里讲的无符号数求反，其实是通过2的4次方 减去 12 得到的是 4
所以这里有点不确定，这个求反，后续再查资料看看是怎么回事
补码加法
这里第一次看的时候没有理解，不过后来又过了几天再看了一下理解了(可能之前看的时候，一眼看去都是公式，自己就不想看)
既然是补码的加班，先回顾一下补码的最大值和最小值
对于一个w为的补码数来说，能表示的最小值为：-2的w-1次方， 表示的最大值为：2的w-1次方 减1
在给定范围x>=-2的w-1次方, y <= 2的w-1次方减1 它们的和的范围就是-2的w次方<=x+y<=2的w次方减2
来吧，先看一下原理：
当x+y的值超过的补码的最大值的时候即大于TMax的时候是正溢出，需要减去2的w次方
当x+y的值小于补码的最小值的时候即小于Tmin的时候是负溢出，需要加上2的w次方
补码的非
还是先看原理：
其实对于补码的非有个简单的方法
先看几个实际的例子：
总结为一句话就是：对每一位求补，在对其结果加1
其实还有一种方法，还是通过一些例子理解：
其实总结一下就是：找到最右边的1，然后这个1的左边的所有位进行取反
无符号乘法
无符号的最大值的表示是2的w次方减1，那么对于x >=0 y <= 2的w次方减1,x和y的乘积的取值范围就是0到 （2的w次方减1）的平方, 这样可能就会需要2w位来表示，C语言中的无符号乘法被定义为产生w为的值，就是2w位的整数乘积的低w位表示的值
来看看原理为：
补码乘法
还是先看原理：
其实对于无符号和补码乘法来说乘法的位级运算都是一样的
通过下面这个实际的例子，就会更加清楚：
乘以2的幂
早些时候，在大多数机器上，整数的乘法指令是非常慢的，所以编译器对此作了优化，通过位移和加法运算的组合方式来代替乘以常数因子的乘法
原理如下：
一般原理看起来都不容易理解，或者估计很多人和我刚开始看的时候一样也是直接忽略，所以还是结合例子来看：
还是以w=4来看，即4位， 11可以通过二进制[1011]表示，k=2 时，将其左移到6位向量得到[101100],即编码为无符号数11*4 = 44
无论是无符号运算还是补码运算，乘以2的幂都可以能会导致溢出。但是即使溢出的时候，通过位移得到的结果也是一样的
由于整数乘法比位移和加法的代价要大的多，许多c语言编译器试图以位移、加法和减法的组合来消除很多整数乘以常数的情况，一个例子：
x * 14 利用14 = 2的3次方 + 2的2次方 + 2的1次方 编译器会讲乘法重写为(x<<3) + (x<<2) + (x<<1)
无论x是无符号还是补码，甚至当乘法会导致溢出时，两个计算都会得到一样的结果
设置编译器还可以利用14 = 2的4次方 - 2的1次方 将乘法重写为(x<<4)-(x<<1)
下面是一个例子：
中间的移位表示要有几个移位，后面的加法/减法表示做几次加法或者减法
除以2的幂
大多数机器上，整数除法要比整数乘法更慢，需要30个或者更多的时钟周期
除以2的幂也可以用移位运算来实现，不过这里用的是右移，而不是左移
无符号和补码分别使用逻辑移位和算数移位来达到目的
来看原理：
下面是在12340的16位表示上执行逻辑右移的结果对它执行逻辑右移的结果，以及对它执行除以1，2，16，和256的结果
当x>=0, 变量x的最高有效位为0，所以效果与逻辑右移是一样的，因此对于非负数来说，算术右移k位，和除以2的k次方是一样的
下图是-12340的16位表示进行算术右移不同位数的结果。对于不需要舍入的情况结果是x/2的k次方
当时当需要进行舍入的时候，位移导致结果向下舍入入右移4位会把-771.25向下舍入为-772
关于除以2的幂的补码除法，向上舍入不是非常理解，后面需要再看
在执行算术右移之前加上一个适当的偏执量来修正舍入，看下图：
在第三列，给出了-12340加上偏量值之后的结果，低k位以斜体表示，可以看出，低k位左边的位可能会加1，也可能不会加1，对于不需要舍入的情况k=1,加上偏量只会影响那些被移掉的位，对于需要舍入的情况，加上偏量导致较高的位加1，所以结果会向零舍入
关于整数运算的小结
计算机执行的整数运算实际上是一种模运算形式，表示数字的有限字长限制了可能的值的取值范围，结果可能溢出。
同时补码表示还提供了一种既能表示负数，也能表示正数的灵活方法，使用了与执行无符号算术相同的位级实现，包括：加法，减法，乘法，除法，无论运算是以无符号形式还是以补码形式，都完全一样活着非常类似的位级行为
浮点数
浮点数可以用统一的公式表示：
如：
并且可以看到除以2 就相当于右移，并且可以横跨小数点
当时这种表示是有问题的，如：x/2的k次方的数可以精确表示，其他数字会变成循环小数
如1/3 = 0.0101010101[01]....
IEEE浮点数标准
IEEE标准中，用下面公式表示浮点数
符号(sign):s是符号位，决定正负
尾数(singificand):M是一个二进制小数，它的范围通常是[1.0,2.0]
阶码(exponent):E 的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂
其中 s 对应着符号位，exp 对应着 E，frac 对应着 M。不同的位数就代表了不同的表示能力，也就是单精度，双精度，扩展精度的来源。
规范化值
在 exp≠000…0 和 exp≠111…1 时，表示的其实都是规范化的值
再来看公式：
这里的 E 是一个偏移的值 E=Exp−Bias
Exp: 是 exp 编码区域的无符号数值
Bias：值为 2的k-1次方−1 的偏移量，其中 k 是 exp 编码的位数，也就是说
单精度：127（Exp: 1…254, E: -126…127）
双精度：1023（Exp: 1…2046, E: -1022…1023）
之所以需要采用一个偏移量，是为了保证 exp 编码只需要以无符号数来处理。
而对于 M，一定是以 1 开头的：也就是 M=1.xxx…x。其中 xxx 的部分就是 frac 的编码部分，当 frac=000.00 的时候值最小（M=1.0），当 frac=111。。。1 的时候值最大（M=2.0−ϵ）
一个例子：
float F = 15213.0
用上面方法理解：
15213=11101101101101=1.1101101101101×2的13次方
于是 frac 部分的值就是小数点后面的数值，而 Exp = E + Bias = 13 + 127 = 140 = 10001100，于是编码出来的浮点数是这样的：
0 10001100 11011011011010000000000
s exp frac
非规范化值
当 exp=000…0 的时候，值是非规范化的，意思是，虽然实数轴上原来连续的值会被规范到有限的定值上，但是并些定值之间的间距也是一样的
和前面不同的是
E=1−Bias
而且 M=0.xxx…x，不是以 1 开头了。
当 exp=000…0 且 frac = 000…0 时，表示 0，而且因为符号位的缘故，实际上是有 +0 和 -0 两种的。而在 exp=000..0 且 frac≠000…0 时，数值是接近 0 的，并且间距是一致的
特殊值
还有一种特殊情况，就是 exp=111…1 时，表示一些特殊值。
当 exp=111…1 且 frac = 000…0 时，表示 ∞，而且因为符号位的缘故，实际上是有 +∞ 和 −∞ 两种的。那些会溢出的操作就会用这个来表示，比如 1.0/0.0=−1.0/0.0=+∞,1.0/−0.0=−∞
而在 exp=111…1 且 frac≠000…0 时，我们认为这不是一个数值（Not-a-Number，NaN），用来表示那些没办法确定的值，比如 sqrt(−1),∞−∞,∞×0
通过例子理解：
接下来举一个实际的例子，我们采用 1 位符号位，4 位 exp 位，3 位 frac 位，因此对应的 bias 为 7。回顾一下几个重要公式：
对于规范化数：E=Exp−Bias；对于非规范数：E=1−Bias，正数部分的数值为
s exp frac E 值 ------------------------------------------------------------------ 0 0000 000 -6 0 # 这部分是非规范化数值，下一部分是规范化值 0 0000 001 -6 1/8 * 1/64 = 1/512 # 能表示的最接近零的值 0 0000 010 -6 2/8 * 1/64 = 2/512 ... 0 0000 110 -6 6/8 * 1/64 = 6/512 0 0000 111 -6 7/8 * 1/64 = 7/512 # 能表示的最大非规范化值 ------------------------------------------------------------------ 0 0001 000 -6 8/8 * 1/64 = 8/512 # 能表示的最小规范化值 0 0001 001 -6 9/8 * 1/64 = 9/512 ... 0 0110 110 -1 14/8 * 1/2 = 14/16 0 0110 111 -1 15/8 * 1/2 = 15/16 # 最接近且小于 1 的值 0 0111 000 0 8/8 * 1 = 1 0 0111 001 0 9/8 * 1 = 9/8 # 最接近且大于 1 的值 0 0111 010 0 10/8 * 1 = 10/8 ... 0 1110 110 7 14/8 * 128 = 224 0 1110 111 7 15/8 * 128 = 240 # 能表示的最大规范化值 ------------------------------------------------------------------ 0 1111 000 n/a 无穷 # 特殊值
从上面可以看出：
在 exp=0000 时，也就是非规范化的情况，间距是一致的，都是 1/8
因为位数的限制，从零到一之间的数字只能以 1/8 为最小单位来表示，且相邻数字间间距一样
在规范化的部分，可以发现由于 exp 部分的不同，所以相邻数字间的间隔也是不同的，比方说最接近 1 的数字是 15/16 和 9/8，分别相差 1/16 和 1/8，这也是由于 IEEE 浮点数表示法的公式决定的
舍入
对于浮点数的加法和乘法来说，我们可以先计算出准确值，然后转换到合适的精度。在这个过程中，既可能会溢出，也可能需要舍入来满足 frac 的精度。
在二进制中，我们舍入到最近的偶数，即如果出现在中间的情况，舍入之后最右边的值要是偶数，对于十进制数，例子如下：
原数值 舍入结果 原因 2.8949999 2.89 不到一半，正常四舍五入 2.8950001 2.90 超过一半，正常四舍五入 2.8950000 2.90 刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向上舍入 2.8850000 2.88 刚好在一半时，保证最后一位是偶数，所以向下舍入
小结
计算机将信息编码为位(比特)，通常组织成字节序列。不同的编码方式用来表示整数，实数和字符串
大多数机器对整数使用补码编码，对于浮点数使用IEEE标准编码
由于编码的长度有限，计算机运算具有不同的属性，当超过表示范围时，有限长度能够引出数值溢出。
当浮点数非常接近0.0 从而转换为0时，也会下溢
整体上第二章花了很多时间看，但是其实对很多知识还是没有做到完全理解，后面可以回过头重新来看，可能那个时候会有新的理解，也能更加深刻