生成函数计数总结

生成函数计数总结

生成函数观点下的 Cayley 公式

我们知道 \(n\) 个节点有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种. 这其实也可以用生成函数求出.

设 \(G(x)\) 为指数生成函数, 其中 \(i (i > 0)\) 次项系数 \(g_i\) 表示 \(i\) 个节点的有标号有根树数目. 不考虑空树的影响, 即\(g_0 = 0\).

考虑一个根. 它每一个儿子的生成函数都与它相同, 为 \(G(x)\). 那么它的生成函数就是它儿子生成函数的一个组合, 即 \(e^{G(x)}\). 考虑到根本身的影响, 那么有:

\[ G(x) = xe^{G(x)} \]

所以,
\[ G(x)e^{-G(x)} = x \]

设 \(F(x) = xe^{-x}\), 那么 \(F(x)\), \(G(x)\) 互为复合逆.

可以拉格朗日反演:

\[ \begin{aligned} [x^n] G(x) & = \frac 1n [x^{n-1}]((\frac x{F(x)})^n) \\ & = \frac 1n [x^{n-1}](e^{nx}) \\ & = \frac {n^{n-1}}{n!} \end{aligned} \]

因此 \(n\) 个节点的有标号有根树有 \(n^{n-1}\) 种. 于是 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种.

转载于:https://www.cnblogs.com/ubospica/p/11088148.html