hihoCoder 最大权闭合子图

在一个图中，我们选取一些点构成集合，记为V，且集合中的出边(即集合中的点的向外连出的弧)，所指向的终点(弧头)也在V中，则我们称V为闭合图。最大权闭合图即在所有闭合图中，集合中的点的权值之和最大的V，我们称V为最大权闭合图。

(可抽象为最大权闭合图求法的题一般是含有一些点具有一定的利益收入，另一些点具有一定的利益支出，即每个点都有一个权值。拥有某个具有收入效益的点前提是必须得拥有一些具有一定利益支出的点。求拥有哪些点能够获得最大的利益。我们可以对收入的点指向支出的点进行建边，则构建的图的每个闭合子图就是一种方式，求解其中最大权闭合子图)

解决该类问题的步骤是：
一。建立源点s和汇点t，然后将源点s与所有权值为正的点相连，容量为权值；将所有权值为负的点与汇点t相连，容量为权值的绝对值；权值为0的点不做处理；同时将原来的边容量设置为无穷大。
二。求解该图的最大流即最小割的值。
有一个结论：最大权闭合子图的权值等于所有正权点之和减去最小割。
解释：
最小割一定是简单割。
简单割一定和一个一个闭合子图对应。(不明白可以尝试在图上画一个割)
每个简单割的容量C(S, T) = T中正权点之和 + S中的负权点绝对值之和。
一个闭合子图的权值W = S中的正权点之和 - S中负权点绝对值之和。
所以推出 W + C(S, T) = 所有正权点之和。
进而：闭合子图的权值 = 所有正权点之和 - C(S, T)。
由于所有正权点的权值之和是一个定值，那么割的容量越小，W也就越大。因此当C(S,T)取最小割时，W也就达到了最大权。

(不懂的看)

下面贴上一份Dinic代码和一份SAP代码。

Code1：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 405;
const int maxm = maxn*maxn;
const int BAS = 200;
struct node
{
	int v, w, next;
} edge[maxm];
int no, head[maxn];
int n, m, all, S, T;
int val[maxn];
queue q;
int rec[maxn], pre[maxn], block[maxn], dis[maxn];
inline void init()
{
	no = 0; all = 0;
	memset(head, -1, sizeof head);
}
inline void add(int u, int v, int w)
{
	edge[no].v = v; edge[no].w = w;
	edge[no].next = head[u]; head[u] = no++;
	
	edge[no].v = u, edge[no].w = 0;
	edge[no].next = head[v]; head[v] = no++;
}
void mapping()
{
	int a, b, x;
	S = BAS*2+1, T = BAS*2+2;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		scanf("%d", &x);
		add(BAS+i, T, x);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d %d", &a, &b);
		add(S, i, a); all += a;
		for(int j = 1; j <= b; ++j)
		{
			scanf("%d", &x);
			add(i, BAS+x, inf);
		}
	}
}
void reset(int S, int T)
{ 
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(block, 0, sizeof block);
	q.push(S); dis[S] = 0;
	while(!q.empty())
	{
		int top = q.front(); q.pop();
		for(int k = head[top]; k != -1; k = edge[k].next)
		if(dis[edge[k].v] == inf && edge[k].w)
			dis[edge[k].v] = dis[top]+1, q.push(edge[k].v);
	}
}
int dinic(int S, int T)
{
	int ans = 0, flow = inf, top = S;
	pre[S] = S;
	reset(S, T);
	while(dis[T] != inf)
	{
		int k, tmp;
		for(k = head[top]; k != -1; k = edge[k].next)
		{
			if(edge[k].w && dis[edge[k].v]==dis[top]+1 && 
			!block[edge[k].v]) break;
		}
		if(k != -1)
		{
			tmp = edge[k].v;
			flow = min(flow, edge[k].w);
			pre[tmp] = top, rec[tmp] = k;
			top = tmp;
			if(top == T)
			{
				ans += flow;
				for(; top != S; top = pre[top])
				{
					edge[rec[top]].w -= flow;
					edge[rec[top]^1].w += flow;
					if(!edge[rec[top]].w) tmp = top;
				}
				top = pre[tmp], flow = inf;
				for(; top != S; top = pre[top])
				flow = min(flow, edge[rec[top]].w);
				top = pre[tmp];
			}
		}
		else
		{
			block[top] = 1;
			top = pre[top];
			if(block[S]) reset(S, T);
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	init();
	mapping();
	printf("%d\n", all-dinic(S, T));
	return 0;
}

Code2：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 410;
const int maxm = maxn*maxn;
const int BAS = 200;
struct node
{
	int v, w, next;
} edge[maxm];
int no, head[maxn];
int N, n, m, all, S, T;
int val[maxn];
queue q;
int rec[maxn], pre[maxn], now[maxn], dis[maxn], gap[maxn];
inline void init()
{
	no = 0; all = 0;
	memset(head, -1, sizeof head);
}
inline void add(int u, int v, int w)
{
	edge[no].v = v; edge[no].w = w;
	edge[no].next = head[u]; head[u] = no++;
	
	edge[no].v = u, edge[no].w = 0;
	edge[no].next = head[v]; head[v] = no++;
}
void mapping()
{
	int a, b, x;
	S = BAS*2+1, T = BAS*2+2;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	N = n+m+2;
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		scanf("%d", &x);
		add(BAS+i, T, x);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d %d", &a, &b);
		add(S, i, a); all += a;
		for(int j = 1; j <= b; ++j)
		{
			scanf("%d", &x);
			add(i, BAS+x, inf);
		}
	}
}
void PRE_SAP(int S, int T)
{
	memset(gap, 0, sizeof gap);
	memset(dis, 0, sizeof dis);
	//注意这里now数组要把所有用到的标号都存过来 
	//初始化一定要注意把所涉及的都覆盖到 
	for(int i = 0; i <= T; ++i) now[i] = head[i];
	q.push(T); dis[T] = 0;
	while(!q.empty())
	{
		int top = q.front(); q.pop();
		++gap[dis[top]];
		for(int k = head[top]; k != -1; k = edge[k].next)
		if(dis[edge[k].v] == inf && edge[k^1].w)
			dis[edge[k].v] = dis[top]+1, q.push(edge[k].v);
	}
}
int SAP(int S, int T)
{
	int k, ans = 0, flow = inf, top = S;
	pre[S] = S;
	PRE_SAP(S, T);
	while(dis[S] < N)
	{
		if(top == T)
		{
			ans += flow;
			for(; top != S; top = pre[top])
			{
				edge[rec[top]].w -= flow;
				edge[rec[top]^1].w += flow;
			}
			flow = inf;
		}
		for(k = now[top]; k != -1; k = edge[k].next)
		{
			if(edge[k].w && dis[top] == dis[edge[k].v]+1)
			{
				flow = min(flow, edge[k].w);
				pre[edge[k].v] = top, rec[edge[k].v] = k;
				now[top] = k; top = edge[k].v;
				break;
			}
		}
		if(k == -1)
		{
			int mins = N;
			if(--gap[dis[top]] == 0) break;
			k = now[top] = head[top];
			for(; k != -1; k = edge[k].next)
			if(edge[k].w && mins > dis[edge[k].v])
				mins = dis[edge[k].v];
			++gap[dis[top] = mins+1];
			top = pre[top];
		}
	}
	return ans;
}
int main()
{
	init();
	mapping();
	printf("%d\n", all-SAP(S, T));
	return 0;
}

继续加油~