Delaunay三角化算法

1、首先了解一下什么是Delaunay三角网

Delaunay三角剖分是前苏联数学家 Delaunay在 1934年提出的:对于任意给定的平面点集 ,只存在着唯一的一种三角剖分方法 ,满足所谓的“ 最大 — 最小角 ” 优化准则 ,即所有最小内角之和最大 ,这就是 Delaunay三角剖分。这种剖分方法遵循“ 最小角最大 ” 和“ 空外接圆 ” 准则
“ 最小角最大 ” 准则是在不出现奇异性的情况下,Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非 Delaunay剖分所形成三角形最小角之和 ,三角形的最小内角之和最大 ,从而使得划分的三角形不会出现某个内角过小的情况 ,比较有利于有限元的后续计算。

“ 空外接圆 ” 准则是 Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圆内不包括其他结点。因此 ,在各种二维三角剖分中 ,只有 Delaunay三角剖分才同时满足全局和局部最优。

2、Delaunay区域增长算法

• 建立第一个三角形

         选择第一个顶点，第一个顶点作为p1；

         选择第二个顶点，距离p1最近的顶点，记为p2；

         选择第三个顶点，和p1 p2构成的三角形的外接圆没有其他顶点，并且该三角形中点p3所在的三角形内角最大

         生成三个边，加入边表；

         生成第一个三角形，组建三角形表；

• 扩展三角形网格

          从边表头选择一个边，标志位为假（表示目前仅仅存在于一个三角形中）；

          从点链表中搜索一个符合下述条件的点：

          在边所在三角形中第三个点的对侧；

          该点和该边构成的三角形的外接圆中没有其他点；

          满足上述条件的点在新三角形中的内角最大的点作为p3；

          如果边表中没有新生的边，将其加入边表尾，并设置标志位维false；如果已经存在，则设置其标志位为true；

          将生成的三角形加入三角形表；

          将从边表头选择的那条边标志位设为true；

           转至该过程的第一步，直至所有的边的标志位均为true；

注：如果需要进行限制三角剖分，则可利用重心法取出不要的三角形，必要时，可对边界进行限制，不让生成的边与边界相交

2、Delaunay三角化的实现算法

一般都会用到的局部最优化（LOP)处理：

        将两个具有公共边的三角形合并成一个凸多边形

        以最大空外接圆为准则，观察第四个顶点是否在三角形的外接圆之内

        如果在，修正对角线，对调对角线，优化结束

Delaunay三角形只是一种三角化的标准，实现方法有多种：，这里笔者只介绍两种逐点插入的两种实现算法

• Lawson算法

  这是一种逐点插入的方法

  基本原理是建立一个大的三角形或者多边形，将所有数据点包围起来，插入一点，将其和所在三角形的三个顶点进行连接，形成三个新的三角形，对于新三角形进行空外接圆检测，局部最优处理；

  这种算法的基本步骤：

        构造一个超级三角形，包含了所有数据点，放入三角形list；

        将数据点中散点依次逐个加入，找到该点所在的三角形，将该点和所在三角形顶点进行连接，构成三个小三角形；

        计算每个小三角形的外接圆，如果外接圆中均不包含其他点，则进入下一步，插入新顶点；如果某个小三角形中包含其他顶点（四个点，两个具有一个公共边的三角形），互换对角线，形成新的三角形，检查新三角形中是否包含其他点，直至所有的都满足空外接圆的条件；

        循环执行上述第二步，直至所有的数据点插入完毕，最后删除超级三角形关联的三角形即可；

• Bowyer-Watson算法

  这个也是一种逐点插入的三角化方法，，OSG中的DelaunayTriangulator就是使用这种方法

  算法过程步骤：

        构造超级三角形，包围所有数据点；

        依次逐个加入新的顶点，找到包含新顶点的外接圆对应的三角形；

        删除中间的边，围绕新点构成一个凸多边形；

        将新顶点与多边形每一个顶点相连，形成新的三角形；

        返回第二步继续，直至所有顶点增加完毕结束；

   

  

   

  Delaunay三角剖分算法可以分为针对二维的局部剖分和三维的全局剖分算法。在二维情况下建立的基于简单的三角形构面的方式，而三维情况下则是需要建立基于四面体的方式构造空间曲面。在遇到三维空间散乱点的构面问题时，可以直接采用三维Delaunay剖分，亦可先将三维坐标预处理转换到二维坐标系中，间接的采用二维Delaunay剖分算法，这里我选择简单的第二种方式。