德梅齐里亚克砝码问题

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德梅齐里亚克砝码问题：一位商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地而碎成4块，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称出从1到40磅之间的任意整数磅的重物，请问这4块碎片分别为多重？

我首先给出问题的答案，可能聪明的人看到答案的形式就能猜到其中的规律：1，1*2+1=3，（1+3）*2+1=9，（1+3+9）*2+1=27.

   

解这个问题挺有意思的，不需要什么高深的数学知识又很好玩。首先我们来参照一下人民币的币值。我们的分币有1，2，5三种币值，两两可以组成1到8之间的若干值，同样，我们在这道砝码问题中第一个要考虑的因素就是排列组合值。1，2，1+2，5，1+5，2+5，1+2+5。

此外，天平称重的另一个特性就是，砝码可以放在左右任意一个托盘中，所以我们就得到了这个问题的第二格特质：排列组合的得出的结果可以取加法，还可以取减法。这样，在上面列出的数字的基础上，我们又得到了2-1，5-1，5-2，5-1-2（就像买东西找零钱一样）。我们发现这些新的值和上面的值有重合，也就是有冗余值，我们的优化过程就是要消除这些冗余值。

好的，现在我们得到了两个数学概念：排列组合和加减法。我们将使用这两个概念来解砝码问题。首先引入两个变量，设已知的所有砝码的重量之和为M，我们要选的砝码值是x。

1.  基本单元1是必须的了，所以第一个碎片一定是1磅;

2.  现在M=1，能称1磅的重物；

3.  我们要称的下一个值就是M+1=2磅，我们能选的下一个砝码中x磅，x可以选2-M，2，2+M，但我们发现只有选2+M之后的排列组合加减值才不会有冗余，所以x=2+M=(M+1)+M=2M+1=3；

4.  现在M=1+3=4，能称4磅及4磅以下的重物；

5.  下一个要称的值就是M+1=5磅，而第三个碎片重量x可以是5-M、5、5+M、或一些其他值，其中只有5+M的排列组合没有冗余，而x=5+M=(M+1)+M=2M+1=9；

6.  现在的M值就是13，能称13磅及13磅以下的重物；

7.  这样推下去你就发现了，你要的下一个最优值永远是2M+1，只有这样才不会有多余的组合加减值。这样你会得到下一第四个碎片的值是2M+1=27。而这时四个碎片的总重量是40。到此为止砝码问题就结束了。

  

第一次升级

得到2M+1的规律之后，我们现在可以把原版的德梅齐里亚克砝码问题再做一下升级：摔成5个碎片的砝码问题应该是什么样子呢?

首先求得第五个碎片的重量值应该是（1+3+9+27）*2+1=81，五个碎片的总重量就是121磅。那么升级版的德梅齐里亚克砝码问题就应该是这样的：一位商人有一个121磅重的砝码，由于跌落在地而碎成5块，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这5块来称出从1到121磅之间的任意整数磅的重物，请问这5块碎片分别为多重？

 

再一次升级

类似斐波那契数列，我们可以从砝码问题得到一个德梅齐里亚克数列：

1，3，9，27，81，243, ... Xn ...

其中Xn=2M+1.(M=X1+X2+X3+...Xn-1)

 

这个数列有什么意义呢？你自己想吧。