线段树
线段树
目录
零、前言
一、引例
1、区间最值
2、区间求和
二、线段树的基本概念
1、二叉搜索树
2、数据域
3、指针表示
4、数组表示
三、线段树的基本操作
1、构造
2、更新
3、询问
四、线段树的经典案例
1、区间最值
2、区间求和
3、区间染色
4、矩形面积并
5、区间K大数
五、线段树的常用技巧
1、离散化
2、lazy-tag
3、子树收缩
六、线段树的多维推广
1、二维线段树 - 矩形树
2、三维线段树 - 空间树
七、线段树相关题集整理
零、前言
最近工作比较忙，好久没更新了，只能在过年期间抽时间写上一篇，美其名曰贺岁版，很享受写文章的过程，不想就这么断了连载，但是接下来可能会更忙，虽然很想一直坚持下去，但是臣妾做不到啊……
一、引例
1、区间最值
【例题1】给定一个n（n <= 100000）个元素的数组A，有m(m <= 100000)个操作，共两种操作：
1、Q a b 询问：表示询问区间[a, b]的最大值；
2、C a c 更新：表示将第a个元素变成c；
静态的区间最值可以利用RMQ来解决，但是RMQ的ST算法是在元素值给定的情况下进行的预处理，然后在O(1)时间内进行询问，这里第二种操作需要实时修改某个元素的值，所以无法进行预处理。
2、区间求和
【例题2】给定一个n(n <= 100000)个元素的数组A，有m(m <= 100000)个操作，共两种操作：
1、Q a b 询问：表示询问区间[a, b]的元素和；
2、A a b c 更新：表示将区间[a, b]的每个元素加上一个值c；
先来看朴素算法，两个操作都用遍历来完成，单次时间复杂度在最坏情况下都是O(n)的，所以m次操作下来总的时间复杂度就是O(nm)了，复杂度太高。
再来看看树状数组，对于第一类操作，树状数组可以在log(n)的时间内出解；然而第二类操作，还是需要遍历每个元素执行add操作，复杂度为nlog(n)，所以也不可行。这个问题同样也需要利用区间拆分的思想。
线段树就是利用了区间拆分的思想，完美解决了上述问题。
二、线段树的基本概念
1、二叉搜索树
线段树是一种二叉搜索树，即每个结点最多有两棵子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。线段树的每个结点存储了一个区间（线段），故而得名。
图二-1-1
如图二-1-1所示，表示的是一个[1, 6]的区间的线段树结构，每个结点存储一个区间（注意这里的存储区间并不是指存储这个区间里面所有的元素，而是只需要存储区间的左右端点即可），所有叶子结点表示的是单位区间（即左右端点相等的区间），所有非叶子结点（内部结点）都有左右两棵子树，对于所有非叶子结点，它表示的区间为[l, r]，那么令mid为(l + r)/2的下整，则它的左儿子表示的区间为[l, mid]，右儿子表示的区间为[mid+1, r]。基于这个特性，这种二叉树的内部结点，一定有两个儿子结点，不会存在有左儿子但是没有右儿子的情况。
基于这种结构，叶子结点保存一个对应原始数组下标的值，由于树是一个递归结构，两个子结点的区间并正好是父结点的区间，可以通过自底向上的计算在每个结点都计算出当前区间的最大值。
需要注意的是，基于线段树的二分性质，所以它是一棵平衡树，树的高度为log(n)。
2、数据域
了解线段树的基本结构以后，看看每个结点的数据域，即需要存储哪些信息。
首先，既然线段树的每个结点表示的是一个区间，那么必须知道这个结点管辖的是哪个区间，所以其中最重要的数据域就是区间左右端点[l, r]。然而有时候为了节省全局空间，往往不会将区间端点存储在结点中，而是通过递归的传参进行传递，实时获取。
再者，以区间最大值为例，每个结点除了需要知道所管辖的区间范围[l, r]以外，还需要存储一个当前区间内的最大值max。
图二-2-1
以数组A[1:6] = [1 7 2 5 6 3]为例，建立如图二-2-1的线段树，叶子结点的max域为数组对应下标的元素值，非叶子结点的max域则通过自底向上的计算由两个儿子结点的max域比较得出。这是一棵初始的线段树，接下来讨论下线段树的询问和更新操作。
在询问某个区间的最大值时，我们一定可以将这个区间拆分成log(n)个子区间，并且这些子区间一定都能在线段树的结点上找到（这一点下文会着重讲解），然后只要比较这些结点的max域，就能得出原区间的最大值了，因为子区间数量为log(n)，所以时间复杂度是O( log(n) )。
更新数组某个元素的值时我们首先修改对应的叶子结点的max域，然后修改它的父结点的max域，以及祖先结点的max域，换言之，修改的只是线段树的叶子结点到根结点的某一条路径上的max域，又因为树高是log(n)，所以这一步操作的时间复杂度也是log(n)的。
3、指针表示
接下来讨论一下结点的表示法，每个结点可以看成是一个结构体指针，由数据域和指针域组成，其中指针域有两个，分别为左儿子指针和右儿子指针，分别指向左右子树；数据域存储对应数据，根据情况而定(如果是求区间最值，就存最值max；求区间和就存和sum)，这样就可以利用指针从根结点进行深度优先遍历了。
以下是简单的线段树结点的C++结构体：
struct treeNode {
Data data; // 数据域
treeNode *lson, *rson; // 指针域
}*root;
Data data; // 数据域
treeNode *lson, *rson; // 指针域
}*root;
4、数组表示
实际计算过程中，还有一种更加方便的表示方法，就是基于数组的静态表示法，需要一个全局的结构体数组，每个结点对应数组中的一个元素，利用下标索引。
例如，假设某个结点在数组中下标为p，那么它的左儿子结点的下标就是2*p，右儿子结点的下标就是2*p+1(类似于一般数据结构书上说的堆在数组中的编号方式)，这样可以将所有的线段树结点存储在相对连续的空间内。之所以说是相对连续的空间，是因为有些下标可能永远用不到。
还是以长度为6的数组为例，如图二-4-1所示，红色数字表示结点对应的数组下标，由于树的结构和编号方式，导致数组的第10、11位置空缺。
图二-4-1
这种存储方式可以不用存子结点指针，取而代之的是当前结点的数组下标索引，以下是数组存储方式的线段树结点的C++结构体：
struct treeNode {
Data data; // 数据域
int pid; // 数组下标索引
int lson() { return pid << 1; }
int rson() { return pid<<1|1; } // 利用位运算加速获取子结点编号
}nodes[ MAXNODES ];
Data data; // 数据域
int pid; // 数组下标索引
int lson() { return pid << 1; }
int rson() { return pid<<1|1; } // 利用位运算加速获取子结点编号
}nodes[ MAXNODES ];
接下来我们关心的就是MAXNODES的取值了，由于线段树是一种二叉树，所以当区间长度为2的幂时，它正好是一棵满二叉树，数组存储的利用率达到最高（即100%），根据等比数列求和可以得出，满二叉树的结点个数为2*n-1，其中n为区间长度（由于C++中数组长度从0计数，编号从1开始，所以MAXNODES要取2*n）。那么是否对于所有的区间长度n都满足这个公式呢？答案是否定的，当区间长度为6时，最大的结点编号为13，而公式算出来的是12（2*6）。
那么 MAXNODES 取多少合适呢？
为了保险起见，我们可以先找到比n大的最小的二次幂，然后再套用等比数列求和公式，这样就万无一失了。举个例子，当区间长度为6时，MAXNODES = 2 * 8；当区间长度为1000，则MAXNODES = 2 * 1024；当区间长度为10000，MAXNODES = 2 * 16384。至于为什么可以这样，明眼人一看便知。
线段树的基本操作包括构造、更新、询问，都是深度优先搜索的过程。
1、构造
线段树的构造是一个二分递归的过程，封装好了之后代码非常简洁，总体思路就是从区间[1, n]开始拆分，拆分方式为二分的形式，将左半区间分配给左子树，右半区间分配给右子树，继续递归构造左右子树。
线段树的构造是一个二分递归的过程，封装好了之后代码非常简洁，总体思路就是从区间[1, n]开始拆分，拆分方式为二分的形式，将左半区间分配给左子树，右半区间分配给右子树，继续递归构造左右子树。
当区间拆分到单位区间时（即遍历到了线段树的叶子结点），则执行回溯。回溯时对于任何一个非叶子结点需要根据两棵子树的情况进行统计，计算当前结点的数据域，详见注释4。
void segtree_build(int p, int l, int r) {
nodes[p].reset(p, l, r); // 注释1
if (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_build(p<<1, l, mid); // 注释2
segtree_build(p<<1|1, mid+1, r); // 注释3
nodes[p].updateFromSon(); // 注释4
}
}
nodes[p].reset(p, l, r); // 注释1
if (l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_build(p<<1, l, mid); // 注释2
segtree_build(p<<1|1, mid+1, r); // 注释3
nodes[p].updateFromSon(); // 注释4
}
}
注释1：初始化第p个结点的数据域，根据实际情况实现reset函数
注释2：递归构造左子树
注释3：递归构造右子树
注释4：回溯，利用左右子树的信息来更新当前结点，updateFromSon这个函数的实现需要根据实际情况进行求解，在第四节会详细讨论
构造线段树的调用如下：
segtree_build(1, 1, n);
2、更新
线段树的更新是指更新数组在[x, y]区间的值，具体更新这件事情是做了什么要根据具体情况而定，可以是将[x, y]区间的值都变成val（覆盖），也可以是将[x, y]区间的值都加上val（累加）。
更新过程采用二分，将[1, n]区间不断拆分成一个个子区间[l, r]，当更新区间[x, y]完全覆盖被拆分的区间[l, r]时，则更新管辖[l, r]区间的结点的数据域，详见注释2和注释3。
void segtree_insert(int p, int l, int r, int x, int y, ValueType val) {
if( !is_intersect(l, r, x, y) ) { // 注释1
return ;
}
if( is_contain(l, r, x, y) ) { // 注释2
nodes[p].updateByValue(val); // 注释3
return ;
}
nodes[p].giveLazyToSon(); // 注释4
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_insert(p<<1, l, mid, x, y, val); // 注释5
segtree_insert(p<<1|1, mid+1, r, x, y, val); // 注释6
nodes[p].updateFromSon(); // 注释7
}
if( !is_intersect(l, r, x, y) ) { // 注释1
return ;
}
if( is_contain(l, r, x, y) ) { // 注释2
nodes[p].updateByValue(val); // 注释3
return ;
}
nodes[p].giveLazyToSon(); // 注释4
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_insert(p<<1, l, mid, x, y, val); // 注释5
segtree_insert(p<<1|1, mid+1, r, x, y, val); // 注释6
nodes[p].updateFromSon(); // 注释7
}
注释1：区间[l, r]和区间[x, y]无交集，直接返回
注释2：区间[x, y]完全覆盖[l, r]
注释3：更新第p个结点的数据域，updateByValue这个函数的实现需要根据具体情况而定，会在第四节进行详细讨论
注释4：这里先卖个关子，参见第五节的lazy-tag
注释5：递归更新左子树
注释6：递归更新右子树
注释7：回溯，利用左右子树的信息来更新当前结点
更新区间[x, y]的值为val的调用如下：
segtree_insert(1, 1, n, x, y, val);
3、询问
线段树的询问和更新类似，大部分代码都是一样的，只有红色部分是不同的，同样是将大区间[1, n]拆分成一个个小区间[l, r]，这里需要存储一个询问得到的结果ans，当询问区间[x, y]完全覆盖被拆分的区间[l, r]时，则用管辖[l, r]区间的结点的数据域来更新ans，详见注释1的mergeQuery接口
。
void segtree_query (int p, int l, int r, int x, int y, treeNode& ans) {
if( !is_intersect(l, r, x, y) ) {
return ;
}
if( is_contain(l, r, x, y) ) {
ans.mergeQuery(p); // 注释1
return;
}
nodes[p].giveLazyToSon();
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_query(p<<1, l, mid, x, y, ans);
segtree_query(p<<1|1, mid+1, r, x, y, ans);
nodes[p].updateFromSon(); // 注释2
}
if( !is_intersect(l, r, x, y) ) {
return ;
}
if( is_contain(l, r, x, y) ) {
ans.mergeQuery(p); // 注释1
return;
}
nodes[p].giveLazyToSon();
int mid = (l + r) >> 1;
segtree_query(p<<1, l, mid, x, y, ans);
segtree_query(p<<1|1, mid+1, r, x, y, ans);
nodes[p].updateFromSon(); // 注释2
}
注释1：更新当前解ans，会在第四节进行详细讨论
注释2：和更新一样的代码，不再累述
四、线段树的经典案例
线段树的用法千奇百怪，接下来介绍几个线段树的经典案例，加深对线段树的理解。
1、区间最值
区间最值是最常见的线段树问题，引例中已经提到。接下来从几个方面来讨论下区间最值是如何运作的。
数据域：
int pid; // 数组索引
int l, r; // 结点区间(一般不需要存储)
ValyeType max; // 区间最大值
初始化：
void treeNode::reset(int p, int l, int r) {
pid = p;
max = srcArray[l]; // 初始化只对叶子结点有效
}
单点更新：
void treeNode::updateByValue(ValyeType val) {
max = val;
}
合并结点：
void treeNode::mergeQuery(int p) {
max = getmax( max, nodes[p].max );
}
回溯统计：
void treeNode::updateFromSon() {
max = nodes[ lson() ].max;
mergeQuery( rson() );
}
结合上一节线段树的基本操作，在构造线段树的时候，对每个结点执行了一次初始化，初始化同时也是单点更新的过程，然后在回溯的时候统计，统计实质上是合并左右结点的过程，合并结点做的事情就是更新最大值；询问就是将给定区间拆成一个个能够在线段树结点上找到的区间，然后合并这些结点的过程，合并的结果ans一般通过引用进行传参，或者作为全局变量，不过尽量避免使用全局变量
。
2、区间求和
区间求和问题一般比区间最值稍稍复杂一点，因为涉及到区间更新和区间询问，如果更新和询问都只遍历到询问（更新）区间完全覆盖结点区间的话，会导致计算遗留，举个例子来说明。
用一个数据域sum来记录线段树结点区间上所有元素的和，初始化所有结点的sum值都为0，然后在区间[1, 4]上给每个元素加上4，如图四-2-1所示：
图四-2-1
图中[1, 4]区间完全覆盖[1, 3]和[4, 4]两个子区间，然后分别将值累加到对应结点的数据域sum上，再通过回溯统计sum和，最后得到[1, 6]区间的sum和为16，看上去貌似天衣无缝，但是实际上操作一多就能看出这样做是有缺陷的。例如当我们要询问[3, 4]区间的元素和时，在线段树结点上得到被完全覆盖的两个子区间[3, 3]和[4, 4]，累加区间和为0 + 4 = 4，如图四-2-2所示。
图四-2-2
这是因为在进行区间更新的时候，由于[1, 4]区间完全覆盖[1, 3]区间，所以我们并没有继续往下遍历，而是直接在[1, 3]这个结点进行sum值的计算，计算完直接回溯。等到下一次访问[3, 3]的时候，它并不知道之前在3号位置上其实是有一个累加值4的，但是如果每次更新都更新到叶子结点，就会使得更新的复杂度变成O(n)，违背了使用线段树的初衷，所以这里需要引入一个lazy-tag的概念。
所谓lazy-tag，就是在某个结点打上一个“懒惰标记”，每次更新的时候只要更新区间完全覆盖结点区间，就在这个结点打上一个lazy标记，这个标记的值就是更新的值，表示这个区间上每个元素都有一个待累加值lazy，然后计算这个结点的sum，回溯统计sum。
当下次访问到有lazy标记的结点时，如果还需要往下访问它的子结点，则将它的lazy标记传递给两个子结点，自己的lazy标记置空。
这就是为什么在之前在讲线段树的更新和询问的时候有一个函数叫giveLazyToSon了。接下来看看一些函数的实现。
数据域：
int pid; // 数组索引
int len; // 结点区间长度
ValyeType sum; // 区间元素和
ValyeType lazy; // lazy tag
初始化：
void treeNode::reset(int p, int l, int r) {
pid = p;
len = r - l + 1;
sum = lazy = 0;
}
单点更新：
void treeNode::updateByValue(ValyeType val) {
lazy += val
;
sum += val * len
;
}
lazy标记继承：
void treeNode::giveLazyToSon() {
if( lazy ) {
nodes[ lson() ].updateByValue(lazy);
nodes[ rson() ].updateByValue(lazy);
lazy = 0;
}
}
合并结点：
void treeNode::mergeQuery(int p) {
sum += nodes[p].sum;
}
回溯统计：
void treeNode::updateFromSon() {
sum = nodes[ lson() ].sum;
mergeQuery( rson() );
}
对比区间最值，区间求和的几个函数的实现主旨是一致的，因为引入了lazy-tag，所以需要多实现一个函数用于lazy标记的继承，在进行区间求和的时候还需要记录一个区间的长度len，用于更新的时候计算累加的sum值。
3、区间染色
【例题3】给定一个长度为n(n <= 100000)的木板，支持两种操作：
1、P a b c 将[a, b]区间段染色成c；
2、Q a b 询问[a, b]区间内有多少种颜色；
保证染色的颜色数少于30种。
对比区间求和，不同点在于区间求和的更新是对区间和进行累加；而这类染色问题则是对区间的值进行替换（或者叫覆盖），有一个比较特殊的条件是颜色数目小于30。
我们是不是要将30种颜色的有无与否都存在线段树的结点上呢？答案是肯定的，但是这样一来每个结点都要存储30个bool值，空间太浪费，而且在计算合并操作的时候有一步30个元素的遍历，大大降低效率。然而30个bool值正好可以压缩在一个int32中，利用二进制压缩可以用一个32位的整型完美的存储30种颜色的有无情况。
因为任何一个整数都可以分解成二进制整数，二进制整数的每一位要么是0，要么是1。二进制整数的第i位是1表示存在第i种颜色；反之不存在。
数据域需要存一个颜色种类的位或和colorBit，一个颜色的lazy标记表示这个结点被完全染成了lazy，基本操作的几个函数和区间求和非常像，这里就不出示代码了。
和区间求和不同的是回溯统计的时候，对于两个子结点的数据域不再是加和，而是位或和。
4、矩形面积并
【例题4】给定n(n <= 100000)个平行于XY轴的矩形，求它们的面积并。如图四-4-1所示。
图四-4-1
这类二维的问题同样也可以用线段树求解，核心思想是降维，将某一维套用线段树，另外一维则用来枚举。具体过程如下：
第一步：将所有矩形拆成两条垂直于x轴的线段，平行x轴的边可以舍去，如图四-4-2所示。
图四-4-2
第二步：定义矩形的两条垂直于x轴的边中x坐标较小的为入边，x坐标较大的为出边，入边权值为+1，出边权值为-1，并将所有的线段按照x坐标递增排序，第i条线段的x坐标记为X[i]，如图四-4-3所示。
图四-4-3
第三步：将所有矩形端点的y坐标进行重映射(也可以叫离散化)，原因是坐标有可能很大而且不一定是整数，将原坐标映射成小范围的整数可以作为数组下标，更方便计算，映射可以将所有y坐标进行排序去重，然后二分查找确定映射后的值，离散化的具体步骤下文会详细讲解。如图四-4-4所示，蓝色数字表示的是离散后的坐标，即1、2、3、4分别对应原先的5、10、23、25（需支持正查和反查）。假设离散后的y方向的坐标个数为m，则y方向被分割成m-1个独立单元，下文称这些独立单元为“单位线段”，分别记为<1-2>、<2-3>、<3-4>。
图四-4-4
第四步：以x坐标递增的方式枚举每条垂直线段，y方向用一个长度为m-1的数组来维护“单位线段”的权值，如图四-4-5所示，展示了每条线段按x递增方式插入之后每个“单位线段”的权值。
当枚举到第i条线段时，检查所有“单位线段”的权值，所有权值大于零的“单位线段”的实际长度之和(离散化前的长度)被称为“合法长度”，记为L，那么(X[i] - X[i-1]) * L，就是第i条线段和第i-1条线段之间的矩形面积和，计算完第i条垂直线段后将它插入，所谓"插入"就是利用该线段的权值更新该线段对应的“单位线段”的权值和（这里的更新就是累加）。
图四-4-5
如图四-4-6所示：红色、黄色、蓝色三个矩形分别是3对相邻线段间的矩形面积和，其中红色部分的y方向由<1-2>、<2-3>两个“单位线段”组成，黄色部分的y方向由<1-2>、<2-3>、<3-4>三个“单位线段”组成，蓝色部分的y方向由<2-3>、<3-4>两个“单位线段”组成。特殊的，在计算蓝色部分的时候，<1-2>部分的权值由于第3条线段的插入(第3条线段权值为-1)而变为零，所以不能计入“合法长度”。
以上所有相邻线段之间的面积和就是最后要求的矩形面积并。
图四-4-6
那么这里带来几个问题：
1、是否任意相邻两条垂直x轴的线段之间组成的封闭图形都是矩形呢？答案是否定的，如图四-4-7所示，其中绿色部分为四个矩形的面积并中的某块有效部分，它们同处于两条相邻线段之间，但是中间有空隙，所以它并不是一个完整的矩形。
2、每次枚举一条垂直线段的时候，需要检查所有“单位线段”的权值，如果用数组维护权值，那么这一步检查操作是O(m)的，所以总的时间复杂度为O(nm)，其中n表示垂直线段的个数，复杂度太大需要优化。
图四-4-7
优化自然就是用线段树了，之前提到了降维的思想，x方向我们继续采用枚举，而y方向的“单位线段”则可以采用线段树来维护，和一般问题一样，首先讨论数据域。
数据域：
int pid; // 数组索引
int l, r; // 结点代表的“单位线段”区间[l, r] (注意，l和r均为离散后的下标)
int cover; // [l, r]区间被完全覆盖的次数
int len; // 该结点表示的区间内的合法长度
注意，这次的线段树和之前的线段树稍微有点区别，就是叶子结点的区间端点不再相等，而是相差1，即l+1 == r。因为一个点对于计算面积来说是没有意义的。
算法采用深度优先搜索的后序遍历，记插入线段为[a, b, v]，其中[a, b]为线段的两个端点，是离散化后的坐标；v是+1或-1，代表是入边还是出边，每次插入操作二分枚举区间，当线段树的结点代表的区间被插入区间完全覆盖时，将权值v累加到结点的cover域上。由于是后续遍历，在子树全部遍历完毕后需要进行统计。插入过程修改cover，同时更新len。
回溯统计过程对cover域分情况讨论：
当cover > 0时，表示该结点代表的区间至少有一条入边没有被出边抵消，换言之，这块区间都应该在“合法长度”之内，则 len = Y[r] - Y[l]（Y[i]代表离散前第i大的点的y坐标）；更加通俗的理解是至少存在一个矩形的入边被扫描到了，而出边还未被扫描到，所以这块面积需要被计算进来。
当cover等于0时，如果该区间是一个单位区间（即上文所说的“单位线段”，l+1 == r，也是线段树的叶子结点），则 len = 0；否则，len需要由左子树和右子树的计算结果得出，又因为是后序遍历，所以左右子树的len都已经计算完毕，从而不需要再进行递归求解，直接将左右儿子的len加和就是答案，即len = lson.len + rson.len。
图四-4-8
图四-4-8所示为上述例子的初始线段树，其中根结点管辖的区间为[1, 4]，代表"单位线段”的两个端点。对于线段树上任何一棵子树而言，根结点管辖区间为[l, r]，并且mid = (l + r) / 2，那么如果它不是叶子结点，则它的左子树管辖的区间就是[l, mid]，右子树管辖的区间就是[mid, r]。叶子结点管辖区间的左右端点之差为1（和之前的线段树的区间分配方式稍有不同）。
这样就可以利用二分，在O(n)的时间内递归构造初始的线段树。
图四-4-9
图四-4-9所示为插入第一条垂直线段[1, 3, 1]（插入区间[1, 3]，权值为1）后的情况，插入过程类似建树过程，二分递归执行插入操作，当插入区间完全覆盖线段树结点区间时，将权值累加到对应结点（图中绿色箭头指向的结点）的cover域上；否则，继续递归左右子树。然后进行自底向上的统计，统计的是len的值。
[2, 4]这个结点的cover域为0，所以它的len等于两棵子树的len之和，[1, 4]亦然。
图四-4-10
图四-4-10所示为插入第二条垂直线段[2, 4, 1]（插入区间[2, 4]，权值为1）后的情况，只需要修改一个结点（图中绿色箭头指向的结点）的cover域，该结点的两棵子树不需要再进行递归计算，回溯的时候，计算根结点len值时，由于根结点的cover域为0，所以它的len等于左右子树的len之和。
图四-4-11
图四-4-11所示为插入第三条垂直线段[1, 3, -1]（插入区间[1, 3]，权值为-1）后的情况，直观的看，现在Y方向只有[2, 4]一条线段了，所以根结点的len就是Y[4] - Y[2] = 15。
讲完插入，就要谈谈询问。在每次插入之前，需要询问之前插入的线段中，在y方向的“合法长度”L，根据线段树结点的定义，y方向“合法长度”总和其实就是根结点的len，所以这一步询问操作其实是O(1)的，在插入过程中已经实时计算出来，再加上插入的O(log n)的时间复杂度，已经完美解决了上述复杂度太大的问题了。
5、区间K大数
【例题5】给定n(n <= 100000)个数的数组，然后m(m <= 100000)条询问，询问格式如下：
1、l r k 询问[l, r]的第K大的数的值
图四-5-1
从图中可以看出，线段树的任何一个结点存储了对应区间的数，并且进行有序排列，所以根结点存储的一定是一个长度为数组总长的有序数组，叶子结点存储的递增序列为原数组元素。
每次询问，我们将给定区间拆分成一个个线段树上的子区间，然后二分枚举答案T，再利用二分查找统计这些子区间中大于等于T的数的个数，从而确定T是否是第K大的。
对于区间K大数的问题，还有很多数据结构都能解决，这里仅作简单介绍。
五、线段树的常用技巧
1、离散化
在讲解矩形面积并的时候曾经提了一下离散化，现在再详细的说明一下，所谓离散化就是将无限的个体映射到有限的个体中，从而提高算法效率。
举个简单的例子，一个实数数组，我想很快的得到某个数在整个数组里是第几大的，并且询问数很多，不允许每次都遍历数组进行比较。
那么，最直观的想法就是对原数组先进行一个排序，询问的时候只需要通过二分查找就能在O( log(n) )的时间内得出这个数是第几大的了，离散化就是做了这一步映射。
对于一个数组[1.6, 7.8, 5.5, 11.1111, 99999, 5.5]，离散化就是将原来的实数映射成整数(下标)，如图五-1-1所示：
图五-1-1
这样就可以将原来的实数保存在一个有序数组中，询问第K大的是什么称为正查，可以利用下标索引在O(1)的时间内得到答案；询问某个数是第几大的称为反查，可以利用二分查找或者Hash得到答案，复杂度取决于具体算法，一般为O(log(n))。
2、lazy-tag
这个标记一般用于处理线段树的区间更新。
线段树在进行区间更新的时候，为了提高更新的效率，所以每次更新只更新到更新区间完全覆盖线段树结点区间为止，这样就会导致被更新结点的子孙结点的区间得不到需要更新的信息，所以在被更新结点上打上一个标记，称为lazy-tag，等到下次访问这个结点的子结点时再将这个标记传递给子结点，所以也可以叫延迟标记。
3、子树收缩
子树收缩是子树继承的逆过程，子树继承是为了两棵子树获得父结点的信息；而子树收缩则是在回溯的时候，如果两棵子树拥有相同数据的时候在将数据传递给父结点，子树的数据清空，这样下次在访问的时候就可以减少访问的结点数。
六、线段树的多维推广
1、二维线段树 - 矩形树
线段树是处理区间问题的，
二维线段树就是处理平面问题的了，曾经写过一篇二维线段树的文章，就不贴过来了，直接给出传送门：
二维线段树。
2、三维线段树 - 空间树
线段树-二叉树，二维线段树-四叉树，三维线段树自然就是八叉树了，分割的是空间，一般用于三维计算几何，当然也不一定用在实质的空间内的问题。
比如需要找出身高、体重、年龄在一定范围内并且颜值最高的女子，就可以用三维线段树（三维空间最值问题），嘿嘿嘿！！！
七、线段树相关题集整理
区间最值
I Hate It ★☆☆☆☆ 最值-单点更新，批量查询
Sticks Problem ★★☆☆☆ 最值-二分枚举 + 批量查询
Balanced Lineup ★★☆☆☆ 最值-批量查询
Frequent values ★★☆☆☆ 最值-批量查询
Billboard ★★☆☆☆ 最值-单点更新、批量查询
Huge Mission ★★☆☆☆ 最值-区间更新，单点询问
Gcd & Lcm game ★★★☆☆ 利用LCM和GCD的素拆表示
Another LIS ★★★★☆ 最值（线段树）+ 树状数组
WorstWeather Ever ★★★★☆ 很好的逻辑题，线段树维护最值
Special Subsequence ★★★★☆ 动态规划 + 区间最值
Minimizing maximizer ★★★★☆ 动态规划 + 区间最值
区间求和
A Simple Problem with Integers ★☆☆☆☆ 求和-区间更新，区间求和
Thermal Death of the Universe ★☆☆☆☆ 求和-区间更新，区间求和
Buy Tickets ★★☆☆☆ 求和-单点更新，区间求和
Turing Tree ★★★☆☆ 求和-离线区间求和
Help with Intervals ★★★☆☆ 求和-异或的应用
Sequence operation ★★★☆☆ 求和-异或的应用
Coder ★★★☆☆ 求和-线段树 + 树状数组
区间染色
Just a Hook ★☆☆☆☆ 染色-批量染色，单次统计
Mayor's posters ★☆☆☆☆ 染色-批量染色，单次统计(离散化)
Count Color ★★☆☆☆ 染色-批量染色，批量查询
A Corrupt Mayor's Performance Art ★★☆☆☆ 染色-批量染色，批量查询
Horizontally Visible Segments ★★★☆☆ 染色-批量染色，子树收缩
Can you answer these queries? ★★★☆☆ 染色-批量染色，子树收缩
Color the Ball ★★★☆☆ 染色-最长连续区间
LCIS ★★★☆☆ 染色-最长连续递增子序列
Memory Control ★★★★☆ 染色-内存分配
Man Down ★★★☆☆ 动态规划 + 区间染色
矩形问题
Atlantis ★☆☆☆☆ 离散化 + 矩形面积并
City Horizon ★☆☆☆☆ 矩形面积并
Paint the Wall ★☆☆☆☆ 矩形面积并
Posters ★★☆☆☆ 中空矩形面积并
Covered Area ★★☆☆☆ 矩形面积并
Picture ★★★☆☆ 矩形周长
Colourful Rectangle ★★★☆☆ 多色矩形面积并
End of Windless Days ★★★☆☆ 投影三角换算 + 矩形面积并
区间K大数
K-th Number ★★★☆☆ 区间K大数
Kth number ★★★☆☆ 区间K小数
Feed the dogs ★★★☆☆ 区间K大数
二维线段树
Luck and Love ★★☆☆☆ 二维最值
Mosaic ★★☆☆☆ 二维最值
Matrix Searching ★★☆☆☆ 二维最值
人一我百！人十我万！永不放弃~~~怀着自信的心，去追逐梦想。