毫米波蜂窝系统的信道估计及混合预编码

毫米波蜂窝系统的信道估计及混合预编码
摘 要
毫米波蜂窝系统由于在毫米波频带上可获得巨大的带宽，能够提供Gbit/s数量级的的传输速率。为了实现充分链接，毫米波将在发送设备和接收设备上采用多天线阵列的定向波束赋形（directional beamforming）。由于高损耗以及混合信号设备的功率开销，毫米波的预编码可能在模拟域和数字域之间划分开来。多天线以及模拟波束成形要求为毫米波定制新的信道估计和预编码算法。这篇文章利用信道的散射特性，研究出新的毫米波信道估计的自适应算法。为了使这个算法高效运转，针对用不同的波束宽度训练波束成形向量，撰写了新版本的多解决方案的编码文献。对于单路径信道，利用提出的算法推导了估计错误概率的上限，在算法的自适应层面，对训练效率分配提出一些见解。自适应信道估计算法扩展到多径的情况需要依靠信道的空间特性。关于估计信道，本论文提出一种新的混合模拟/数字预编码算法，这种算法克服了只用模拟波束成形时硬件的限制，接近数字解决方案时的性能。仿真结果表明：与穷举信道训练算法相比，低密度信道估计算法实现了较好的预编码增益。结果表明：提出的信道估计以及预编码算法即使在有干扰的情况下，通过其优质的信道知识，可以接近覆盖率（coverage probability）。
1 引言介绍
毫米波通信是未来室外蜂窝通信系统的期望技术。多天线矩阵的定向预编码是支持室外远距离通信以及提供足够的接收信号功率的不可缺少方案。幸运的是，在毫米波频率下，多天线阵列可以被装进小型设备中，可以灵活的所需预编码增益去设计天线规模（这句话好像翻译有点不通顺）。混合信号的功率开销十分巨大，然而数字基带预编码不太可能。更多的是，预编码矩阵的设计通常基于足够的信道状态信息，由于毫米波中，在波束成形之前天线数目众多以及小信噪比，信道信息很难完全的估计出来。与传统的微波频段MIMO系统，新的信道估计，新的预编码算法（这些必须根据毫米波蜂窝通信系统改进）相比，毫米波MIMO对硬件有更高的要求。
为了克服射频硬件的限制，提出模拟波束成形的解决方案。模拟波束成形主要是通过发送天线阵列控制信号的相位，这些发送天线由模拟相位变换器网络控制。提出很多像波束训练算法之类的解决方法，旨在发送端没有信道信息时，迭代设计模拟波束形成系数。在[3],[7]-[9]中，人们通过对发送设备和接收设备设计波束成形向量，提出自适应波宽波束成形算法和多级码本（multi-stage codebooks）。在[10]中，多个特殊波束同时存在，用于最小化波束训练时间。虽然在[3],[7]-[11]中减小了复杂度，但是他们通常都有单一通信波束收敛的缺点。因此，这些技术通过发送多个并行数据流 并不能实现增大增益。更多的是，模拟策略的性能，诸如[3],[7]-[9]这些，与数字预编码解决方法相比，是次优化的解决办法，一是因为模拟相位转换器幅度的限制；二是因为潜在的低分辨率的信号相位控制（low-resolution）。
为了实现更大的预编码增益，对多个数据流进行预编码，[11]-[14]建议在模拟域和数字域分别进行预编码操作。在[11]中，模数预编码器接头问题要结合空间分集和多路复用系统来考虑。首先，最优非约束射频预处理信号转换服从基带预编码矩阵，通过提出的可变相位转换器射频处理，接近次优估计值。在[12]中，当相位转换器能唯一得到量化相位时，混合模拟/数字预编码算法旨在减小接收信号的均方误差。然而，在[11][12]中，这些工作在毫米波系统中并没有特殊化，而且并没有解释毫米波信道特性。在[13]中，毫米波信道的空间多径结构，以及基追踪的算法概念用于设计低密度混合预编码器，假设接收机能获得完美的信道信息，低密度混合预编码器能接近最大容量。在[13][14]中，认为在系统发送端部分知道信道特性，来设计混合预编码器。在[11][13][14]中，然而随着混合预编码算法的发展，克服了射频的硬件限制，可以支持多流传输，这些增益的实现要求在设计预编码矩阵之前在发送端知道信道的相关信息。发展多路毫米波信道估计算法，运用混合预编码在接近数字预编码算法的性能。
（问题：为什么数字预编码算法不能实现）
在这篇文章中，在基站和移动终端，我们发展了毫米波多天线阵列的低密度信道估计和预编码算法。这些算法解释了毫米波硬件实现假设：第一，模拟相位转换器需要连续不断的模拟和量化相位；第二，射频链的数量有限，远远小于天线数。论文大纲主要总结如下：
1 我们提出一种新的毫米波信道估计问题构想。这种构想抓住了信道的空间特性，利用自适应压缩感知(CS)领域开发的工具，为mmWave信道设计高效的估计算法。
2 我们为训练序列设计了一种新的多分辨率码本。新的码本依靠模拟/数字处理节点，用不同的波宽产生波束成形向量，这是本论文中自适应信道估计算法合适运算的关键。
3 我们设计一种自适应压缩感知基本算法，这种算法可以用较少的迭代次数，较高的成功概率，高效的估计毫米波信道的特性。我们所提出的算法的优点是可以在多路信道波形训练工作之前估计信道参数。因此，可以在毫米波系统中多流复用，而在[7]-[9]，[20]，[21]中，在单流训练和传输之前，不能进行信道估计。
4 我们分析了所提出的的算法在单一信道的特性。推导出估计信道参数误差概率的上限，并且在总的训练功率上找到高效的条件，它在宣发的自适应阶段进行分配，在最大错误概率下用一定带宽去估计信道参数。
5 我们为毫米波信道提出一种新的混合模拟/数字预编码算法。在所提出的的算法中，并不是将预编码向量设计成已知的到达/离开角向量在[13]中的线性组合，我们的设计仅仅依靠量化波控方向去直接逼近信道主导奇异向量。因此，它隐藏的考虑到硬件的局限性，更容易推广到任意天线阵列。
6 我们通过在毫米波蜂窝系统背景下的仿真（假定在基站和移动终端侧采用混合预编码算法），估计了所提出的估计算法的性能。
仿真结果显示，通过所提出的信道估计算法所得到的预编码增益接近采用穷举搜索设计预编码向量的增益。多小区仿真显示该方法的频谱效率和混合预编码时的覆盖率是否与提出的信道估计一并使用，所提出的信道估计算法可以与假设信道参数已知和没有数字限制的方法相媲美。
本论文的剩下部分安排如下。在第二部分，我们呈现了信道模型以及论文中所使用的主要假设。在第三部分，我们推导了频谱信道估计问题以及所提出的自适应训练/估计算法的思想。在第四部分，为训练预编码和联合器设计了分级多解决方案码字字典。在第五部分，我们列出并讨论自适应信道估计算法。第六部分，推导预编码设计相关问题以及对混合射频/基带预编码解决方法的建议。第七章到第八章，仿真结果表明所提出的算法的性能。在本论文中我们使用以下符号：是一个矩阵，是一个向量， 是一个标量，{A}表示一个集合，是A的行列式，是它的范数，这里分别是它的转置，共轭转置，共轭，逆，伪逆解。是矩阵在集合的行（列）。是在具有对角线上的所有元素的对角阵。是单位矩阵，是N为单位向量。是A和B的 Khatri-Rao（KR）积（问题）。是A和B，表示均值为，协方差为的复高斯随机变量。用来表示期望。
2 系统模型
毫米波蜂窝系统如图1所示，图2表示拥有天线和个射频链路的基站，假设用来和具有天线和射频链路的单用户通信。实际应用中移动用户的射频链路数量通常少于基站的射频链路数，但在我们的模型中没有考虑这个条件。基站和用户通过数据流进行通信，综上，，

图1 毫米波蜂窝系统模型，基站和用户间运用多天线阵列通过分集波束赋形进行通信

图2 基站与用户的发送设备模块图，在两端均使用基带波形是成形器
在本论文中，我们关注下行传输。基站假设使用基带预处理器，是射频处理器，若是基站组合预处理编码矩阵，那么离散时间传输信号由以下表示：
(1)
其中，是传输符号向量，，是平均总发射功率。是模拟相位变换器，它一直都是模拟连续信号。我们标准化这些元素来满足，其中表示的第个元素的幅度。总的功率约束通过标准化实现，。
在用户检测信号端，我们采用窄带慢衰落信道模型
(2)
其中，是矩阵，表示基站与用户间的毫米波信道，是干扰接收信号的高斯白噪声。
在用户端，组合放大器由射频和基带组合器和组成，用来处理接收信号r
(3)
我们将针对下行链路模型，解释所提出的算法。同样的算法可以直接应用到上行链路，它的输入输出关系和上式是相等的，只需要将替换成上行链路信道特征矩阵，预编码器和组合器交换位置。在接下来的部分，我们只考虑基站和用户间的链接，假设没有其他基站的影响，来进行毫米波信道估计和预编码。第7到第8部分介绍在小区间干扰的情况下，模拟该算法的估计值。
因为毫米波信道有散射限制，我们采用L个散射的几何信道模型，每个散射都假设在基站和用户间单信道传输，在这种模型下，信道特性矩阵可以表示为
(4)
其中，p表示基站和用户间平均路径损耗，表示第路的复增益。路径的幅度假设满足瑞利分布，，，是平均功率增益。可变相位，表示第路的基站和用户间的离开/到达方位角。只考虑方位角，忽视垂直面角度，表明基站和用户间的散射只发生在2维空间。扩展到3维的波束赋形也是可以的，最后，分别表示基站和终端的天线阵列向量。本论文中的算法和结果推导可以使用任意的天线阵列，我们在第七章用归一化线性矩阵来模拟，可以写成
(5)
其中，表示信号波形长度，表示天线阵元间的距离，表示用户端矩阵响应向量，可以用类似的方式表达。公式（4）中的信道可以写成更简洁的形式：
(6)
其中，，矩阵
(7)
并且
(8)
表示基站和用户矩阵响应向量。在本论文中，我们假设基站和用户都知道信道的先验信息。因此，论文的第一部分（第三章到第五章），列出毫米波信道估计的问题，在基站和用户间使用自适应压缩感知算法去进行估计，在第二部分（第六章），将使用混合预编解码矩阵去估计信道。
3 毫米波信道估计问题公式
在(4)中给出了毫米波集合信道模型，估计毫米波信道等价于估计L个信道路径的不同参数；到达角，接受角，以及每条路径的增益。为了估计精确，我们使用少量的训练开销，基站和用户端需要仔细的设计他们的训练预编码器和结合器。在本章，我们利用毫米波信道的低散射特性，将毫米波信道估计问题看成一个稀疏问题。本章也简单的介绍对阵训练预编码器和结合器的设计，自适应压缩感知是如何工作的。由这些想法启发，在第四章，我们使用混合模拟/数字系统结构，针对训练波束赋形问题，开发出一种新的的混合多解决方案码本技术。稍后提出自适应改进码本算法去估计毫米波信道，并且在第五章仿真它的性能。
A.毫米波信道估计问题的稀疏公式
考虑到第二章提出系统以及毫米波信道估计模型，如果基站使用向量进行波束赋形，用户端采用来聚合和收到的信号，那么接收信号可写成：
(9)
其中，表示波束赋形向量的发送符号，，P是训练项中每个传输的平均功率。在第四章，我们为波束赋形/检测向量和开发一种混合模拟/数字设计。如果由用户侧向量，表示，那么连续检测出波束赋形向量，向量表示如下：
(10)
其中是测量矩阵，如果基站在连续时隙中
采用波束赋形向量，，移动端使用相同的测量矩阵与结合接收到的信号，最终的接收矩阵可以由连接的处理向量，
(11)
其中，是基站使用的波束赋形矩阵，是噪声矩阵，由噪声向量给出。矩阵是一个携带基站传输符号的对角阵，对角线上元素为，。对于训练阶段，我们假设所有传输符号是相同的，即，因此
(12)
为了利用信道的稀疏性，我们首先将接收信号矩阵向量化
(13)
(14)
(15)
其中，服从定理[25,公式13.26]，服从公式6的信道模型，是KR运算的值。矩阵是维矩阵，每个元素由，每个元素表示基站和终端第个信道路径到达/接收角矩阵响应向量的内积。
为了使问题完整化，我们假设到达角和离开角都服从N点均匀网格，。假设，。到达角和离开角的值应该精确连续，其他基于离网的算法，如稀疏正则化的总最小二乘，连续最小跟踪，或者牛顿优化思想都可以用来减小量化误差。在本文中，我们仅考虑一种量化到达角/离开角的情况，对未来工作尽可能的改进。在第七章，我们通过数字仿真，测量了所提出算法的量化误差性能。
忽视网格量化误差，我们能大概写出的表达式：
(16)
其中，是字典矩阵，该矩阵由形式的个列向量组成，分别是第u个点和第v个点，角度归一化后，，，,。是维向量，表示量化方向通信的路径增益。注意到检查的列元素对应于的非零元素，直接表示信道主路径的到达角和离开角。路径增益也可以计算中对应元素的值来确定。
接收信号向量用（16）表达，是信道估计问题的低密度等式，其中中只有L个非零元素，并且。表示所要求测量值的大小，，中的非零元素远小于。在（16）中给出该式子，压缩感知工具可以用来设计估计算法，来量化到达角/离开角。若我们定义感知矩阵，，压缩感知算法的目标是高效的设计这个感知矩阵，以较少的测量数据高概率恢复出向量的非零元素。一个常见的标准是限制等距性质，等距性质要求矩阵的平均值接近对角线上的值。为了后面章节简单解释基站终端间波束赋形向量器的设计，我们使用内积来表示：
(17)
(18)
其中，是两个非零元素与到达角和离开角一致的稀疏矩阵。分别是和字典矩阵，该矩阵分别由形式的列向量组成。在压缩感知理论中，测量向量的数量应满足高概率恢复出L-稀疏向量。这个结论在理论上进行了证明，进行特殊的应用以及未来工作中高效的算法发展，训练波束赋形向量唤醒了一些想法，我们因此采用自适应压缩感知工具。
B.自适应压缩感知解决法
在自适应压缩感知中，训练处理被分为多个阶段。训练预编码，每个阶段的测量矩阵设计最开始并不确定，而是依靠早一阶段的输出结果。具体来说，如果训练过程被分为S个阶段，那么这些阶段的接收信号向量化为

	(19)

第S个阶段训练预编码和组合器的设计取决于，最近的研究表明，自适应压缩感知算法的性能在低信噪比情况下优于标准的压缩感知工具，在波束赋形前，低信噪比是毫米波系统典型的特征。然而，这些自适应压缩感知思想依赖于连续等分法，等分法为压缩感知提供了可以用在训练波束赋形矢量仪的思想。
第五章，在我们所提出的信道估计算法中，训练波束赋形矢量仪的自适应设计基于等分法的概念。特别地，算法最开始由向量根据公式（19）划分为多个小部分，每个小部分均等地将到达角/离开角的范围分为许多小间隔，设计的第一阶段训练预编码和结合矩阵来感知这些部分。接收信号决定划分区域，这些区域有很多非零元素，每个元素在后续阶段进一步划分成更小区域，直到到达角/离开角满足解决要求。如果基站预编码向量在每个阶段使用自适应算法的次数为K，这里K是一个参数，用来检测到达角/离开角的自适应次数是，为了便于说明，我们假设S是整数。在进一步解释算法细节之前，我们将在接下来的章节去设计多解决方案波束赋形码本，该码本对于自适应信道估计算法的运算起着关键性的作用。
4 基于多分辨率分级码本的混合预编码
在本章，我们在提出一种新型的混合模拟/数字的基础上，介绍多分辨率波束赋形码本。不考虑射频端的限制，就是说假设具有量化相位的恒幅移相器，提出的针对通用逻辑阵列/非通用逻辑整列构造波束赋形矢量仪的方法具有很低的复杂度，比仅适用模拟波束赋形码本的性能要好，这全都归功于它额外的数字处理层。
多分辨率或者多波宽波束赋形矢量码本在之前的文献中已经被研究。先前的工作都致力于纯模拟波束赋形矢量仪，并且仅在波束类型的物理层面上进行设计。不幸的是，纯模拟多分辨率码本的设计在毫米波中受到实际情况的限制。（1）量化相位转换器的存在使非重叠波形较为困难，可能会要求在给给定大量天线的巨大空间上进行穷举搜索（Exhaustive search）（2）一定波宽的纯模拟波束赋形矢量仪的设计依赖于均匀线性结构（ULA）的波控波形模式，直观上由于缺乏波束模式，很难应用于非均匀线性矩阵（non-ULAs）。为了简化解释码本的结构和设计，我们关注基站训练预编码码本；对于终端训练码本可采用类似的方法。
A.码本结构
所提出的的混合码本由S层组成，，。每层有一定量的波束赋形向量，在相应的训练阶段采用一定宽度的自适应毫米波信道估计算法。图3给出N=256，K=2码本的前三层；图4表示码本中每层波束赋形矢量仪的波束形状。

图3 分辨率N=8的码本结构例子，每个子集有K=2波束赋形向量

图4 混合码本例子，在前三层码本层中的波束赋形向量的波形结果

在每个码本层中，波束赋形向量分为个子集，每个子集有K个波束赋形向量。每个码本层级的子集都对应着离开角的一个独一无二的范围，范围为，其中。离开角的角度范围进一步被划分成K个子范围，子集中的每个波束赋形向量被设计成在上有一个几乎相等的投影，u只在子范围内，在其他向量上投影为0。从物理上来说，这表明波束赋形向量由它们的子范围以及预先定义的方向来决定波宽。
所提出的码本结构非常接近文献[7][9]中的结构，它的码本也有多级，每个波束赋形向量对应一定的波宽，我们采用不同的方式，根据它们的量化覆盖角度来定义每个波束赋形向量。这和文献[7][9]中的定义是不同的，文献[7][9]中用每个向量有中心波束赋形角和波宽定义每个向量。对于使用数字/模拟结构来实现这些向量来说，这个区别导致任意波宽波束赋形的新公式的设计问题有了全新的方式。为了让我们的知识更好实现，最开始的工作是使用模拟/数字处理器定义不同波宽对应波束赋形向量；这此前的工作仅依靠模拟设计。为了在波束赋形波形方面获得更好的特性，额外的数字处理层为波束赋形设计问题提供更多的自由度。
B.波本波束赋形向量的设计
在每个码本层，子集中,波束赋形向量可以设计成如下形式：
(20)
其中

定义成波束赋形向量的离开角的子范围，为归一化常数，满足。举例来说，图3中的波束赋形向量被设计成矩阵响应向量的常数投影，中的一个元素，中的元素，并且在其他方向上投影为0。
为了写成更紧凑的形式，我们把（20）式中的波束赋形向量作为下式的解
(21)
其中，是维矩阵，其中每个列baohan 区块,。现在，我们认为到基站离开角矩阵是的过完备的字典，公式（21）表示非连续系统，由。进一步的，在第二部分给出可获得系统模型，预编码矩阵定义成。每个波束赋形向量将会私自使用在某一时刻，我们将它们在混合模拟/数字预编码器设计成相互独立的状态。因此，混合模拟数字训练预编码矩阵的设计就由下式子解决

其中，，是为矩阵，它具有模拟波束赋形向量最终可能的集合，候选矩阵可以被挑选来接近任意波束赋形约束。我们在第七章仿真了两个候选波形设计的例子，如下：
1）等价于均匀线性矩阵波形控制向量，由波形组成的个向量集合。
2）波束赋形向量的元素可以由归一化相位表示。在归一化相位这种情况下，如何每个相位变换器可以由输入比特控制，那么候选预编码矩阵可以写成，。
现在，给出可能的模拟波束成形向量矩阵，（22）式中的优化问题可以重新表述为类似于[13,17]中的最优化问题的稀疏逼近问题，矩阵分别计算的值，集合。这个稀疏问题可以用[13]中的算法1（正交匹配追踪算法）来解决。
图5 在第二级码本中，不同射频链数量的波束赋形向量的近似波束形状
应用所提出算法的波束形状的一个例子展示在图。这些形状通常由基站的32天线产生，并且基站链路数。接近图4中的第二级码本未限制波束向量。
在为第级码本中的第个子集和的基站训练波束赋形向量设计完之后，接下来计算数量，这些将在第五章的信道估计算法之后使用。
波束赋形增益：公式（4）给出信道模型，公式（20）给出码本波束赋形设计标准，我们定义基站训练向量的波束赋形增益在第阶段为，在用户端波束赋形向量处可使用类似的定义，在第级产生总的训练波束赋形增益等于
误差矩阵：如公式（21）的系统是不连续的，它的解通过伪逆（pseudo-inverse）的方法求出，也许并不完全等于。然而，射频波束赋形向量的限制以及（22）式子中最优问题的近似解在满足(21)时会多出一个误差。这个误差的物理解释是（i）波束赋形向量在他们的假定离开角子范围外存在频谱泄露（ii）波束赋形增益不存在于超过所涉及的离开角范围。为了将这个误差影响纳入性能分析（第五章中），我们定义基站的第级码本的个子集和误差矩阵为

在用户端联合码本也存在类似误差，在应用内积（18）后，我们定义接收向量经历的所有波束赋形误差矩阵为

现在，我们同样定义总的增益矩阵为，假设用于基站和终端的的子集和，的子集和我们可以将（19）式子重新写成

实际波束赋形增益：为了包括前面在波束赋形增益处定义的误差矩阵的影响，我们将定义实际的向前和向后设计的波束形成向量的增益。首先，注释是矩阵，其矩阵的每行对应于预编码/测量向量的特定对，每列对应于量化到达角/离开角的特定对。我们将每对到达角/离开角定位一个方向，，方向集合由每对预编码器/测量矩阵，来覆盖方向集合。现在，如何是波束赋形向量所覆盖方向之一，，那么向量在方向上实际的波束赋形增益定义为：

其中（a）代表，。
同样，我们定义前面介绍的每个预编码/测量向量的旁瓣增益（Side Lobe Gain）在方向上为，。为了简化概念，我们承认先前定义的波束赋形子集和符号；在每个码本等级，每个方向仅由唯一的波束赋形/结合向量覆盖。在第五章中所提出的的信道估计算法的分析中，我们将对先前定义的增益比感兴趣，因此，我们定义一定方向上和同一方向上（波束赋形向量）旁瓣增益比为

第五章毫米波信道的自适应估计算法
在这一部分，我们考虑第三章中的稀疏信道估计问题，第四章所提出的运用自适应混合码本算法来估计毫米波信道。首先，我们用一阶信道来解决该问题，即当信道只有一条路径。在后面部分我们将提出的算法扩展到多径情况下。
考虑等式（19）中的问题，单径信道意味着向量只有一个非零元素。因此，估计单径信道可以通过确定非零元素的位置来完成，该位置反过来定义到达角/离开角，并且这个元素的值决定信道路径增益。为了用较少的训练前缀来高效实现，我们提出算法1——使用第四章中设计的多分辨率波束赋形向量来自适应寻找向量的非零元素。

算法1的运行步骤如下。最开始，基站使用第一层码本种的K个训练预编码向量。对于每个向量，终端使用码本第一层中K个检测向量来合并接收信号。(这里是向量合并吗)混合码本的第一层只有一个波束赋形向量子集。这一阶段，在预编码测量步骤后，终端对个接收信号进行功率比较来确定具有最大接收功率的信号。由于每个预编码/测量向量都对应量化的到达角/离开角的一定范围，第一步运算将（19）式中的向量划分成部分，并且与他们每个部分的功率和进行比较。因此，接收信号最大功率的选择等价于在向量中进行选择，结果是量化到达角/离开角的范围，这一范围与信道的某一路径高度相似。最大功率问题的输出稍后用来确定码本层和层的级的波束赋形向量的子集，该子集会用在下一步骤。然后终端将所选的基站预编码子集反馈给基站，用于下一阶段处理，这一过程仅需要比特。随着下一阶段的波束赋形向量精确度越来越高，到达角/离开角的范围进一步被自适应的定义。知道期望精确度被满足的时候，算法处理迭代才会停止。在S步的训练功率通常是不同的，稍后我们将简短的讨论。
根据所提出的算法，用精确度来估计到达角/离开角所要求的总次数是。因为我们需要K个波束赋形向量，每个阶段中每个波束赋形向量需要K个测量向量，使用所提出的算法来估计毫米波信道迭代总数变成步。然而，射频链可以同时用在终端来结合测量，迭代步长所要求总数可以进一步减少到。
在接下来的理论中，我们描述针对单一主路径信道所提出的算法的特性，假设（4）式中信道模型。使用算法1时，用一定的精确度去估计到达角/离开角时，我们找到了误差概率的上界。接下来我们将用算法1去推导在总训练功率和在自适应阶段的高效状态，来确保用合适的精确度去估计毫米波信道的到达角/离开角，以及在最大误差概率下所在的界限。
理论1：对于期望分辨率，算法1成功的估计了（4）式模型中单一信道的到达角/离开角，平均误差概率的上界为

其中

是在方向上向前向后最小比，是该方向上的实际波束赋形增益，是信道信噪比，定义为。
证明：如果基站和终端使用算法1采用精确度，并且在每个阶段采用K个层和层码本的预编码和检测向量去估计它们的到达角/离开角，第一阶段的输出值可以写成（27）式的样子

不失一般性，如果我们假设向量的单一非零元素是第路元素，那么它被第一个预编码/检测向量覆盖，使用（6）式中，我们得到：

为了选择概率最大的带非零元素的分区，算法1选择接受功率最大的部分。因此，在该阶段正确估计到达角/离开角范围的概率是，取这个式子的补集，使用联合界限，我们将阶段（1）中的误差概率条件在信道增益上为：

此时，，其中的计算公式为：

并且，，其中均值取值为。使用[34]的结果求两个高斯随机变量的平方差小于0的概率，我们得到：

其中：

是一阶Q函数，是第0修正第一类贝塞尔函数。我们回顾一下，表示某一方向上实际波束赋形增益，表示在方向上的波束赋形向量的旁瓣增益。我们知道等于两个增益之比。因此，。在[35][36]式子中，可以得到Q函数的积分形式：

现在我们将（38）式带入（36）式得：

从（39）式中，我们可以得出，其中。这是期望的，因为表示正向到反向的增益，直观上与错误概率成反比。因此，我们可以使用最差的正向反向增益来确定的界限：

其中：

表示在方向d上最差的正向反向比。
对每个阶段进行类似的分析，信道增益的总误差概率现在可以被定义，再次使用联合界限来标界：

最终，为了获得平均误差概率,我们需要对指数分布求积分，然而，将积分符号与求和符号符号进行交换。我们会再次得到与[36,(27)-(35)]的积分类似形式。因此，在个方向上使用这个结果，我们可以直接得到（31）式中的界限。尽管理论1的证明的中心思想和[9]中的波束偏差分析类似，这个理论在前期工作上，有大量的重要贡献。主要不同点在于，理论1考虑到信道路径增益经过衰落分布的情况；[9]中的分析假设是连续直线信道。直线信道和非直线信道情况对毫米波系统来说都很重要，在文献[37]中使用的阻塞模型，我们可以在该两种情况下，结合估计误差概率去获得毫米波系统的更精确的估计值。理论1也可以将到达角/离开角的估计误差作为第四章中设计的多级码本的不同参数函数：正反向增益比和实际的波束赋形增益都带有错误。因此，它用较多的实际波束赋形波形提供了自适应信道估计算法的实际估值。更进一步，文献[9]中的波束校准分析运用穷举法，当只有最高精度的波形被使用时，理论1考虑使用自适应算法估计到达角/离开角的情况。这也是这边信道估计论文的亮点之处，理论1中的界限暗示了训练功率可以分布在不同的自适应阶段中来减少估计误差的可能。这个功率分配的观点将在这部分再次提出。现在，对于趋于无穷的情况，当反向增益非常小，可以忽略不计时，即，我们可以更进一步，得到训练功率分配的充分条件，以保证在误差最大概率的一定范围内估计信道的到达角/离开角。
推论2：考虑使用算法1去估计模型（4）的单径毫米波信道的到达角/离开角，精度为，预编码和测量向量分别为，，。如果每个阶段功率，满足：

其中

那么可以使用平均错误概率来估计到达角和离开角。
为了证明推论2，用给定的和（31）式中的来代替就足够得到。
我们也可以注意到推论2中描述的功率分配策略使不同阶段的到达角/离开角估计误差的概率相等。该结果背后的直觉是这个阶段可以有更窄，更高的分辨率，波束赋形向量有更高的波束赋形增益，因此与较宽的波束赋形向量阶段相比，只需要较少的训练功率开销去完成同样的估计成功概率。推论2的另一个优点在于它描述了为了达到一定成功概率所需训练功率的上限。从推论2中，能容易地看到，根据推论2所描述的方法，总训练功率，，足够去估计单径毫米波信道的到达角/离开角，错误概率。
最后，如果我们在总训练功率上有一定界限，我们可以用理论1区获得误差概率的上限。
推论3：考虑到使用算法1来估计模型（4）中的单径毫米波信道的到达角和离开角，该模型分辨率为，每阶段有K个预编码和测量向量W。其中，，。如果总的训练功率为，并且该功率由算法1的自适应阶段来分布，那么

然后，保证到大家和离开角以平均错误误差概率进行估计：

为了证明推论3，需要用（31）式中给定来得到错误概率界限。推论3是非常重要的，它表示在一定训练功率下，到达角度和离开角度估计的可靠性。
为了研究理论1推导的界限的准确度以及推论3的功率分配策略。图6比较了在理论1中，使用一定界限的算法1时到达角度/离开角度估计平均误差概率。在这幅图中，我们假设一个基站有64根天线，有10个射频链路；相对应的，假设终端有32根天线，6个射频链路。采用推论3中的功率分配时，在自适应阶段使用相等的功率分配时的情况下，画出了理论1中的实际平均估计误差和界限示意图。图6中的结果表示尽管推导出的界限并不紧凑，但是针对在所提出的信道估计算法的自适应阶段如何减少评价估计误差概率，提供了十分有用的思想。

图6 单一路径下使用算法1估计到达角/离开角的平均错误概率。
B 多径信道毫米波信道的自适应信道估计
在这一部分，我们考虑在基站和终端有多条路径的情况。归功于毫米波信道具有较少散射的自然现象，信道估计问题可以等效于第三部分讨论的稀疏压缩感知问题。结果是，一种改进的匹配追踪算法可以沿着对应的信道的第路径的路径增益来估计到达角和离开角，其中，是主路径的数量，待解。考虑到等于（19）中的问题，客观的决定具有最大功率增益矩阵的个非零元素。参考单径的例子，我们提出的算法2可以自适应的估计不同的信道参数。
1）改进多级码本：对于多径情况，我们需要对第四章中设计的多级码本结构进行微改。稍后将会简要解释，多径情况下，在个基站和用户端，自适应算法由个预编码向量和测量向量。在每个阶段，那些部分的主路径数量进一步被选择，并在下一阶段被划分为K个更小部分。因此，考虑到这个因素，第四章中的码本的第一级可以由带有波束赋形向量的子集组成，该向量把最开始的离开角度分为个范围。类似的，在第s级，码本有级，范围和被定义为：

将这些归一化离开角度范围的定义与每个波束赋形向量联系起来，每个波束赋形向量有K个子集，s层级，波束赋形向量处理设计相同于第四章到第B章的描述。
在估计毫米波信道的主瓣路径，算法2使进行外迭代。在每次迭代，和算法1类似，减去先前估计路径的贡献后，用来检测一条多路径。具体来说，算法2运行如下：在最初阶段，基站和终端都使用波束赋形向量（由第四章中的码本定义）来将到达角和离开角的范围划分成个子范围。类似于单径情况，该算法通过选择最大接收信号功率运行来确定最合适的部分来携带信道的主路径。（表示主路径数）这个算法会一直重复直到找到要求的离开角的精度，在这个迭代中，只估计了一条路径。基站所用的轨迹线（trajectory）来检测第一条路径是否被保存在矩阵中，并在后一迭代中使用。在下一迭代过程，类似于基站-终端预编码/检测步骤，进行重复。然而，在每级，前一次已经估计的路径的贡献在确定新的合适的离开角范围之前被发送出去。在下一阶段，两个离开角范围被选择来进一步优化，即，一个在这次迭代的阶段种被选中，另一个在第一次迭代的阶段被选中，都保存在中。这两个离开角范围的选择可以使算法去检测不同路径的离开角，达到的精度。该算法处理会一直以同样的方式进行，直到主路径都被解决。在用期望的精度来估计完到达角/离开角之后，该算法最终使用线性最小二乘估计器（LLSE）来计算被估计信道的增益。
注意到多径自适应波宽算法的一个缺点是在算法的早期阶段路径增益总结之前有可能存在破坏性干扰。穷举训练算法没有这个缺点；在估计信道主路径中只使用高精度的波束。然而由于信道的稀疏特性，这种对所提出的算法运算的优势在毫米波信道影响更小。
通过算法2来估计精度为信道的路径的到达角/离开角所要求的自适应阶段的总数为。因为在每个阶段中的每个预编码方向上，我们需要个预编码向量和个测量向量，使用所提出的算法来估计毫米波信道的路径所需要的总步长数为，如果在终端使用多射频链路来结合测量值，所要求的训练时隙数被减少到。

第六章混合预编码设计
我们现在来设计混合预编码器/接合器，（），在基站和终端处，以最大化通过毫米波信道链路（3）上的高斯信令实现互信息量，同时要开率不同的射频预编码约束。不管是上行链路还是下行链路，混合预编码问题都可以总结成最大化速率，表达式为：

模拟和数字处理矩阵（）。如（46），是后处理噪声协方差矩阵，下行链路中，上行链路中.
为了便于说明，我们总结用基站计算混合预编码矩阵的处理，运用在下行链路上，上行链路终端的预编码以相同的形式处理。
我们建议将预编码问题分为两部分。在第一部分，基站和用户采用第三章的自适应信道估计算法来估计毫米波信道特性。在信道训练/估计部分结束处，基站根据信道的几何结构来构造下行信道矩阵。如果信道不是相互的，第五章的估计算法可以在终端处构造上行信道矩阵。

下行信道训练/估计部分的结果在第五章，基站现在可以估计它自己的控制矩阵（steering matrix），终端控制矩阵，估计信道增益向量，因此，基站可以构建估计下行信道矩阵。

现在基站可以构建它的混合预编码器以近似信道的主奇异量，由无约束预编码器表示，使用与[13，等式16-18]类似的步骤与算法1。
第七章仿真结果
这这部分，我们展示所提出训练码本，自适应信道估计算法，混合预编码算法估计性能的数学结果。首先，考虑基站/终端间的单一链接，接下来给出毫米波蜂窝信道模型仿真结果。
点到点信道估计性能
在仿真中，我们考虑只有一个基站和一个终端的情况，并且没有其他的干扰系统模型和仿真方案（scenario）如下：
1）系统模型：我们采用图2所示的混合模拟/数字系统结构。基站有天线，10个射频链路，终端有根天线和6个射频链路。天线阵列是均匀线性矩阵，天线间的距离等于，射频相位转换器被认为只有一个量化相位。因此，只允许有一组有限的射频波束赋形向量，假设为波束赋形向量，有7个量化比特。
2）信道模型：我们考虑使用（4）式中的信道模型，平均功率增益路径数。到达角度/离开角度假设采用连续非归一化的值，并且在上均匀分布。系统假设采用28GHz的载波，带宽为100MHz，路损指数。
3）仿真方案：这部分所有的仿真在不同的系统，算法系数中展示频谱效率。为了产生这一结果，使用第五章的算法来估计信道系数。估计完系数后，根据（47）,重新构建集合信道，在使用第六章的混合预编码器/解码器的设计。除非有其他的提示，否则两个步骤都采用上述相同的稀疏：
1.信道估计参数：对于单一路径信道，使用算法1来估计到达角/离开角的参数，精度参数，每个阶段波束赋形向量。在多径情况下，系数将在每次模拟中定义。训练功率根据推论2来确定，使用最大错误概率。因此，训练功率会根据系数K和N来变化。同时，总的训练功率根据推论2在每个自适应阶段确定。
2.混合预编码系数：预编码矩阵使用相同的系统结构来构建，假设多多路复用流。
在图7中，在估计信道等于1,2,3时，用提出的毫米波信道估计算法给出的预编码增益。算法1和算法2根据不同的K值进行模拟。算法1和算法2均用不同的值K来进行仿真，并且与穷举算法的预编码增益进行比较。结果表明，所比较的增益可以使用所提出的算法来完成，尽管它们的复杂度低，所要求的迭代次数少。举例来说，对于，，要求训练步骤，频谱效率性能与穷举算法相比（穷举算法要求更多的迭代次数）降低小于1bps/Hz。

图7 在信道L=3，以及时，使用所提出的预编码算法来使用毫米波信道估计预编码矩阵的频谱效率。

图8 随着自适应信道估计算法的发展，频谱的效率逐渐提高，并与穷举搜索和完善的信道知识案例进行了比较。
在图8中，预编码增益的改善由所提出的算法来实现，训练迭代可以仿真出来。结果表明，穷举算法增益的90%以上可以由K=2时，仅70次迭代来完成。