离散傅立叶变换DFT和离散余弦变换DCT

离散傅立叶变换DFT

一维DFT

在文献1的第四章中，式(4.2.5)和式(4.2.6)分别给出了（单变量的）一维离散傅立叶变换和反变换：

F(u)=1M∑x=0M−1f(x)e−j2πux/Mu=0,1,2,…，M−1

f(x)=∑u=0M−1F(u)ej2πux/Mx=0,1,2,…，M−1

有时候，前边的系数 1M 会发生变化，但其乘积仍然为 1M ，常见的情况如下：

F(u)=1M−−√∑x=0M−1f(x)e−j2πux/Mu=0,1,2,…，M−1

f(x)=∑u=0M−11M−−√F(u)ej2πux/Mx=0,1,2,…，M−1

在此，我们可以以第一组变换对为主来记忆 DFT。

二维DFT

同时，文献2中接着给出了式(4.2.16)和式(4.2.17)所示的二维离散傅立叶变换和反变换：

F(u,v)=1MN∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+vy/N)

其中u=0,1,2,…，M−1;v=0,1,2…，N−1 。

f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)

其中x=0,1,2,…，M−1;y=0,1,2…，N−1 。对应地，前边的系数 1MN 也可以发生变化，但其乘积要保持为 1MN 。

离散余弦变换DCT

根据Wiki百科3以及文献4可知，离散余弦变换有4~5种定义，我们仅给出最常用的DCT-II的定义。

一维DCT

在文献5的第九章中，式(9.2.1)和式(9.2.2)分别给出了一维离散余弦变换和反变换，具体如下所示：

C(u)=a(u)∑x=0N−1f(x)cos(2x+1)uπ2Nu=0,1,2,…，N−1

f(x)=∑u=0N−1a(u)C(u)cos(2x+1)uπ2Nx=0,1,2,…，N−1

其中，系数 a(u) 的表达式为：

a(u)=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N−−√,u=0u=1,2,…，N-1

然而在 MATLAB等软件中矩阵下标是从1（而非0）开始，因此在 MATLAB中该公式又被表述为：

y(k)=w(k)∑n=0N−1x(n)cosπ(2n−1)(k−1)2Nk=1,2,3,…，N

x(n)=∑k=0N−1w(k)y(k)cosπ(2n−1)(k−1)2Nn=1,2,3,…，N

其中，系数 w(k) 的表达式为：

w(k)=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N−−√,k=1k=2,3,…，N

二维DCT

在文献6的第九章中，式(9.2.4)和式(9.2.5)又分别给出了二维离散余弦变换和反变换，具体如下所示：

C(u,v)=a(u)a(v)∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)cos(2x+1)uπ2Mcos(2y+1)uπ2N

其中u=0,1,2,…，M−1;v=0,1,2,…，N−1 。

f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1a(u)a(v)C(u,v)cos(2x+1)uπ2Mcos(2y+1)uπ2N

其中x=0,1,2,…，M−1;y=0,1,2,…，N−1 。
上式和原文相比存在略微的不同（我们把其中一个 N替换成了 M），在该文献中并未给出系数的表达式，不过我们可以通过下边的一组变换对得到其系数表达式。对应地，在 MATLAB中将二维 DCT表述为下式：

Bpq=αpαq∑m=0M−1∑n=0N−1Amncosπ(2m+1)p2Mcosπ(2n+1)p2N其中0≤p≤M−1;0≤q≤N−1

Amn=∑p=0M−1∑q=0N−1αpαqBpqosπ(2m+1)p2Mcosπ(2n+1)p2N其中0≤m≤M−1;0≤n≤N−1

其中，系数 αp 与 αq 的表达式分别为：

αp=⎧⎩⎨⎪⎪1M−−√,2M−−√,p=0p=1,2,…，M-1

和

αq=⎧⎩⎨⎪⎪1N−−√,2N−−√,k=0k=1,2,…，N-1

参考文献

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1. Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods, 《数字图像处理》（第二版）,阮秋琦，阮宇智等译。 ↩
2. Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods, 《数字图像处理》（第二版）,阮秋琦，阮宇智等译。 ↩
3. 维基百科：discrete cosine transform ↩
4. 章毓晋, 《图像处理》（图像工程·上册）（第三版） ↩
5. 章毓晋, 《图像处理》（图像工程·上册）（第三版） ↩
6. 章毓晋, 《图像处理》（图像工程·上册）（第三版） ↩