强化学习(四) - 无模型学习(MC、TDL)
上一节讲的是在已知模型的情况下，通过动态规划来解决马尔科夫决策过程(MDP)问题。具体的做法有两个：一个是策略迭代，一个是值迭代。
从这一节开始，我们将要进入模型未知的情况下，如何去解决MDP问题。
模型未知，即状态转移概率 P s s ′ a P^a_{ss′} Pss′a 这些我们是不知道的。所以我们无法直接利用如下Bellman方程来求解V和Q值得到最优策略。
所以，为了能够从环境中学习，我们需要让agent与environment交互，得到一些经历（样本）。然后通过这些经历来进行策略评估与策略迭代，从而最终得到最优策略。
这种做法的理论是从蒙特卡罗方法中来的。所以我们先讲蒙特卡罗学习。接着从蒙特卡罗的缺点出发，进一步讲解了时序差分学习以及λ时序差分强化学习。
Monte-Carlo Learning(蒙特卡罗学习)
蒙特卡罗方法又叫做统计模拟方法，它使用随机数(或伪随机数)来解决计算问题。
比如下图，矩形的面积我们可以轻松得到，但是对于阴影部分的面积计算困难。所以为了计算阴影部分的面积，我们可以在矩形上均匀地撒豆子，然后统计在阴影部分的豆子数占总的豆子数的比例，就可以估算出阴影部分的面积。
对于无模型强化学习，虽然我们不知道状态转移概率P，但是这个概率是真实存在的。我们可以直接去尝试、不断采样，然后会得到奖赏，通过奖赏来评估值函数。这个想法与蒙特卡罗方法的思想是一致的，我们可以尝试很多次，最后估计的V值就会很接近真实的V值了。
episode
episode就是经历，每条episode就是一条从起始状态到结束状态的经历（路径）。
首先我们要得到的是某一个状态s的平均收获。所以我们说的episode要经过状态s。所以上图中第二条路径没有经过状态s，对于s来说就不能使用它了。而且最后我们episode都是要求达到终点的，才能算是一个episode。
蒙特卡罗学习是指在不清楚MDP状态转移概率及即时奖励的情况下，直接从经历完整的Episode来学习状态价值，通常情况下某状态的价值等于在多个Episode中以该状态算得的所有收获的平均。
在蒙特卡罗方法中，计算状态s在每一个样本中的回报的均值分为first visit 和every visit两种方法。
first visit： 在计算状态s处的值函数时，只利用每次实验(episode)中第一次访问到状态s时返回的值。如上图所示，计算s出的均值只利用了G11（ G表示从s开始一直到终点的所有R之和 ），因此计算公式如下：
every visit ： 在计算状态s处的值函数时，利用所有访问到状态s时的回报返回值。即：
所以，蒙特卡罗学习就是指不基于模型本身，而是直接从经历过的episode中进行学习，通过不同episode的平均收获值替代价值函数。
Monte-Carlo Policy Evaluation(蒙特卡罗策略评估)
蒙特卡罗策略评估使用多个episodes的平均获得值来代替这个状态价值函数。
N(s)表示状态s出现的次数。每次状态s出现，N(s)加1。
上面的做法需要等到所有的episodes都经历完了，再去计算V(s)。
其实可以使用Incremental mean(累进更新平均值)。具体的做法就是：
对于每来一个episode： S 1 , A 1 , R 2 , S 2 , A 2 , . . . , S t , A t , R t + 1 , . . . , S k S_1,A_1,R_2,S_2,A_2,...,S_t,A_t,R_{t+1},...,S_k S1,A1,R2,S2,A2,...,St,At,Rt+1,...,Sk
对于episode里的每一个状态 S t S_t St，有一个收获 G t G_t Gt。每碰到一次 S t S_t St，使用下面的式子计算状态的平均价值V(s):
Temporal-Difference Learning(时序差分学习)
TD Learning中会把 G t G_t Gt写成递归的形式。这样，每走一步都可以更新一次V。
而蒙特卡罗中，却需要走完整个episode，才能得到 G t G_t Gt，从而更新一次V。 蒙特卡罗学习方法的更新是这样的：
在TD learning中，算法在估计 G t G_t Gt时，用的是离开该状态时的即时奖励 R t + 1 R_{t+1} Rt+1与下一个状态 S t + 1 S_{t+1} St+1的预估状态价值乘以折扣因子γ组成：（用目标值 R t + 1 + γ V ( S t + 1 ) R_{t+1}+γV(S_{t+1}) Rt+1+γV(St+1)代替 G t G_t Gt）
区别：
蒙特卡罗每次更新都需要等到agent到达终点之后再更新；
而对于TD learning来说，agent每走一步它都可以更新一次，不需要等到到达终点之后才进行更新
MC、TDL、DP 总结
Monte-Carlo, Temporal-Difference 和Dynamic Programming这三种学习方法都是用来计算状态价值的。
它们的区别在于：
前两种是在无模型下常用的方法，而MC方法又需要一个完整的episode来更新状态价值，TD则不需要完整的episode(单步更新)。
DP方法则是基于模型的计算状态价值的方法。它通过计算一个状态S所有可能的转移状态S’及其转移概率以及对应的即时奖励来计算这个状态S的价值。也正是因为它知道整个模型的情况(知道状态转移概率与即时奖励)，所以它才能够这样子计算全面的情况。
下图中的这颗树，代表了整个状态与动作空间。对于蒙特卡罗方法来说，要更新一次V值，需要有一个完整的样本(即图中红色部分就是一个样本)。这条路径经过了三个状态，所以可以更新三个状态的V值。
下图的红色部分是TDL每次更新所需要的。对于MC和TDL来说，它们都是无模型的，所以它们只能通过尝试来近似真实值。
这是动态规划的V值计算，由于知道了模型，所以可以直接计算期望V值。
参考：
强化学习(四)：蒙特卡罗学习(MonteCarlo)与时序差分学习(TD learning)