极值点和拐点比较

极值点	拐点
定义： (1).$若任意x\in U^0(x_0，\delta )，有f(x)<f(x_0)，$称$f(x_0)为f(x)$的极大值，点$x_0为f(x)$的极大值点 . (2)$若任意x\in U^0(x_0，\delta )，有f(x)>f(x_0)，$称$f(x_0)为f(x)$的极小值，点$x_0为f(x)$的极小值点 . 极大值点和极小值点统称为极值点	定义：连续凸弧和凹弧的分界点称为拐点
形式上：极值点为一维，只是$x$坐标，不在曲线上	形式上：拐点为二维坐标$G(x_0，y_0)$，在曲线上
判断的本质：判断在$x_0$两侧的单调性	判断的本质：在$x_0$两侧的曲线凹凸性
(1)若函数的一阶导数存在，$f^{\prime }(x_0)=0$的点$x_0$可能是极值点，也可能不是极值点。 比如$f(x)=x^2$和$f(x)=x^3$， (2)若函数的一阶导数不存在的点，可能是极值点，也可能不是极值点。 比如函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& x⩽0\\ x& x>0\end{array}$ 和$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& x⩽0\\ 2x& x>0\end{array}$	（1）若函数$f^{\prime \prime }(x_0)存在$，则$f^{\prime \prime }(x_0)>0的点G(x_0，y_0)$ 可能是拐点，也可能不是拐点。比如$f(x)=x^2，G(0，0)$不是拐点。$f(x)=x^3，G(0，0)$是函数的拐点 （2）若函数的$f^{\prime \prime }(x_0)不存在，G(x_0，y_0)$可能是拐点，也可能不是拐点 。 比如函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(x-1)& x⩽0\\ -x(x-1)& 0<x<1\\ x(x-1)& x⩾1\end{array}.$ 点$G(0，0)和G(1，0)$都是函数的拐点。 函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{3}^x-1& x<0\\ 0& x=0\\ e^x-1& x>0\end{array}。点(0，0)不是拐点$

如何寻求极值点： 若函数为可导函数，则满足$f^{\prime }(x)=0的点x_0$可能是极值点。 此时： (1).判断$x_0$两侧的单调性 (2).可以运用第二充分条件，若$f^{\prime }(x_0)=0$若$f^{\prime \prime }(x_0)⩾0$，则为极小值点。若$f^{\prime \prime }(x_0)⩽0$，则为极大值点 函数存在不可导的点，则用定义去判断。分析两侧的单调性
如何简记极值点判断的第二充分条件
这样书写: $f^{\prime \prime }(x_0)$            ~~~~~~~~~~            $\vee$            ~~~~~~~~~~            0 不等式尖角那个点它是最低点，所以他是极小值。 同理: $f^{\prime \prime }(x_0)$            ~~~~~~~~~~            $\wedge$            ~~~~~~~~~~            0 不等式尖角那个点它是最高点，所以他是极大值。 这样你还会记混吗？
对于拐点的讨论： 假设条件：函数$f(x)$三阶可导，且已经判断$f^{\prime \prime }(x_0)=0$， 若$f^{\prime \prime \prime }(x_0)⩾0，$则$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(x_0)}{x-x_0}⩾0$， 又因为$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，就有$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}⩾0$ 又由极限的保号性有$\frac{f^{\prime \prime }(x)}{x-x_0}⩾0$， 在$x_0$的左侧，有$f^{\prime \prime }(x)⩽0$，即函数$f(x)$在$x_0$的左侧为凸函数， 在$x_0$的右侧，有$f^{\prime \prime }(x)⩾0$，即函数在$x_0$的左侧为凹函数。 则$G(x_0，y_0)$为函数$f(x)$的拐点。 同时，对$f^{\prime }(x)$而言，其一阶导数$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，且二阶导数$f^{\prime \prime \prime }(x_0)⩾0$，则为一阶导数$f^{\prime }(x)$的极值点