多元高斯分布

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问题：

将二元正态分布的概率密度函数改写成矩阵-向量形式

改写：

• 设 (X1,X2) ( X 1 , X 2 ) 是二元正态变量，其密度函数为：
  
  即： (X1,X2) ( X 1 , X 2 ) ~ N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ) N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ )
  其中： ρ ρ 是相关系数

• 令：

  • x=(x1,x2)T x = ( x 1 , x 2 ) T
  • μ=(μ1,μ2)T μ = ( μ 1 , μ 2 ) T
  • C= C = (c11c21c12c22) ( c 11 c 12 c 21 c 22 ) = (σ21ρσ1σ2ρσ1σ2σ22) ( σ 1 2 ρ σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 σ 2 2 ) , C是协方差矩阵

• 于是推出：
  f(x1,x2)=1(2π)22(|C|)12e−12(x−μ)TC(−1)(x−μ) f ( x 1 , x 2 ) = 1 ( 2 π ) 2 2 ( | C | ) 1 2 e − 1 2 ( x − μ ) T C ( − 1 ) ( x − μ )

推广：

将上式推广至N维： f(x1,x2,x3,.....,xn)=1(2π)n2(|C|)12e−12(x−μ)TC(−1)(x−μ) f ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . . . , x n ) = 1 ( 2 π ) n 2 ( | C | ) 1 2 e − 1 2 ( x − μ ) T C ( − 1 ) ( x − μ )
即：

其中：

• μ μ 相当于每个正态分布的对称轴，是一个一维向量
• Σ Σ 是协方差矩阵