[HDU1085][HDU1028][HDU2013] 组合数学入门（母函数、递推）

先来说一说母函数，今天是第一次学。杭电关于母函数的PPT感觉不错，挺适合入门看看的。

什么是母函数？对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：G(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...G(x)就是序列a0,a1...的母函数。如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 序列a0，a1，a2，…可记为{an} 

如何用母函数来解决诸如整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题？这一类问题大致是需要找到整数拆分的方案数，邮票可以组合出多少面额，某一种重量可以由多少种砝码组合来完成称重……当然利用类似动态规划的思想往往也可以解决这类问题，下面讨论怎么使用母函数来完成。

下面这个例子来自HDU集训的PPT

“例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：
  1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
  1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10  
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
”

理解了这个例子之后整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题就都一并解决了。

下面来是我对这种母函数构造方式的理解。

对于上面的例1，如果取消砝码个数的限制，则母函数变为G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)

若要称量重量M，那么这个质量M就对应母函数展开后的x^M项。而x^M项的指数M按照数学上的展开来理解是什么来的呢？

假设M=14，我们用1个1g砝码，1个2g砝码，1个3g砝码和2个4g砝码。则可以看做是从G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)的每一个括号(每个括号分别对应1g, 2g, 3g, 4g砝码单独可以组合出哪些质量)里取出了x, x^2, x^3, x^8。然后意会一下为什么x^M项对应的系数就是称量质量M的方案数了。如果理解的话这一类问题就都可以做了。

实现起来，展开G(x)函数的时候就是按照平时自己手工怎么展开来做的。

两个母函数练手题，性质都是一样的

HDU1085（母函数） Holding Bin-Laden Captive!

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

硬币面额1,2,5且有数量限制num1,num2,num3，问最小不能组合的数量是多少。

G(x)=(1+x+...+x^num1)(1+x^2+...+x^2num2)(1+x^5+,,,+x^5num3)，展开，系数不为0的数都是可以由硬币组合出来的。

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxexp=1*1000+2*1000+5*1000+10;

int main()
{
    int n1, n2, n3;
    bool f;
    int c1[maxexp+1], c2[maxexp+1], c3[maxexp+1]; 
    
    while (scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &n3)==3 && n1+n2+n3>0)
    {
        memset(c1, 0, sizeof(c1));
        memset(c2, 0, sizeof(c2));
        memset(c3, 0, sizeof(c3));
        for (int i=0; i<=n1; i++)               //1+x+x^2+...+x^n1
            c1[i]=1;
        for (int j=0; j<=n1; j++)
            for (int k=0; k<=2*n2; k+=2)        //1+x^2+...+x^(2*n2)
                    c2[j+k]+=c1[j];
        for (int j=0; j<=n1+2*n2; j++)
            for (int k=0; k<=5*n3; k+=5)        //1+x^2+...+x^(5*n2)
                    c3[j+k]+=c2[j];
        f=false;
        for (int j=0; j<=n1+2*n2+5*n3; j++)
            if (c3[j]==0)
            {
                printf("%d\n", j);
                f=true;
                break;
            }
        if (!f) printf("%d\n", n1+2*n2+5*n3+1);
    }
    return 0;
}

HDU1028（母函数） Ignatius and the Princess III

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

整数拆分。由于拆分结果只考虑有几个1几个2几个3...不考虑顺序什么的，那么问题就和之前的砝码邮票什么的一样了。

G(x)=(1+x+...)(1+x^2+...)(1+x^3....)...(1+x^n)

n最大120，可以预处理一下保存结果，也可以一边输入一边重新算，反正n很小……

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxexp=120;

int main()
{
    int n, now, pre;
    int f[2][maxexp+1];                         //"滚筒"使用 
    
    while (scanf("%d", &n)==1)
    {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i=0; i<=n; i++)                //1+x+x^2+...+x^n
            f[1%2][i]=1;
        for (int i=2; i<=n; i++)
        {
            now=i%2; pre=(i-1)%2;
            for (int j=0; j<=n; j++)
                f[now][j]=0;
            for (int j=0; j<=n; j++)            //枚举之前结果
                for (int k=0; k+j<=n; k+=i)     //枚举当前多项式 1+x^i+x^2i+... 
                {
                    f[now][j+k]+=f[pre][j];             //中间结果保存在c2 
                }
        }
        printf("%d\n", f[n%2][n]);
    }
    return 0;
}

HDU2013

赤裸裸的递推，毫无技术性而言

f(n)=(f(n-1)+1)*2, 从最后一天逆推。

#include 
#include 

int main()
{
    int f[32], n;
    f[1]=1;
    for (int i=2; i<30; i++)
        f[i]=(f[i-1]+1)*2;
    while (scanf("%d", &n)==1)
        printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}