[HDU1085][HDU1028][HDU2013] 组合数学入门(母函数、递推)

先来说一说母函数,今天是第一次学。杭电关于母函数的PPT感觉不错,挺适合入门看看的。
什么是母函数?对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:G(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...G(x)就是序列a0,a1...的母函数。如若已知序列a0,a1,a2,…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之,如若已经求得序列的母函数G(x),则该序列也随之确定。 序列a0,a1,a2,…可记为{an} 
如何用母函数来解决诸如整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题?这一类问题大致是需要找到整数拆分的方案数,邮票可以组合出多少面额,某一种重量可以由多少种砝码组合来完成称重……当然利用类似动态规划的思想往往也可以解决这类问题,下面讨论怎么使用母函数来完成。

下面这个例子来自HDU集训的PPT


“例1:若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?各有几种可能方案? 
如何解决这个问题呢?考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量,则:
  1个1克的砝码可以用函数1+x表示,1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,
  1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,
几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10  
从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。
理解了这个例子之后整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题就都一并解决了。
下面来是我对这种母函数构造方式的理解。
对于上面的例1,如果取消砝码个数的限制,则母函数变为G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)
若要称量重量M,那么这个质量M就对应母函数展开后的x^M项。而x^M项的指数M按照数学上的展开来理解是什么来的呢?
假设M=14,我们用1个1g砝码,1个2g砝码,1个3g砝码和2个4g砝码。则可以看做是从G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)的每一个括号(每个括号分别对应1g, 2g, 3g, 4g砝码单独可以组合出哪些质量)里取出了x, x^2, x^3, x^8。然后意会一下为什么x^M项对应的系数就是称量质量M的方案数了。如果理解的话这一类问题就都可以做了。
实现起来,展开G(x)函数的时候就是按照平时自己手工怎么展开来做的。


两个母函数练手题,性质都是一样的

HDU1085(母函数) Holding Bin-Laden Captive!

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

硬币面额1,2,5且有数量限制num1,num2,num3,问最小不能组合的数量是多少。

G(x)=(1+x+...+x^num1)(1+x^2+...+x^2num2)(1+x^5+,,,+x^5num3),展开,系数不为0的数都是可以由硬币组合出来的。

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxexp=1*1000+2*1000+5*1000+10;

int main()
{
    int n1, n2, n3;
    bool f;
    int c1[maxexp+1], c2[maxexp+1], c3[maxexp+1]; 
    
    while (scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &n3)==3 && n1+n2+n3>0)
    {
        memset(c1, 0, sizeof(c1));
        memset(c2, 0, sizeof(c2));
        memset(c3, 0, sizeof(c3));
        for (int i=0; i<=n1; i++)               //1+x+x^2+...+x^n1
            c1[i]=1;
        for (int j=0; j<=n1; j++)
            for (int k=0; k<=2*n2; k+=2)        //1+x^2+...+x^(2*n2)
                    c2[j+k]+=c1[j];
        for (int j=0; j<=n1+2*n2; j++)
            for (int k=0; k<=5*n3; k+=5)        //1+x^2+...+x^(5*n2)
                    c3[j+k]+=c2[j];
        f=false;
        for (int j=0; j<=n1+2*n2+5*n3; j++)
            if (c3[j]==0)
            {
                printf("%d\n", j);
                f=true;
                break;
            }
        if (!f) printf("%d\n", n1+2*n2+5*n3+1);
    }
    return 0;
}

HDU1028(母函数) Ignatius and the Princess III

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

整数拆分。由于拆分结果只考虑有几个1几个2几个3...不考虑顺序什么的,那么问题就和之前的砝码邮票什么的一样了。

G(x)=(1+x+...)(1+x^2+...)(1+x^3....)...(1+x^n)

n最大120,可以预处理一下保存结果,也可以一边输入一边重新算,反正n很小……

#include 
#include 
using namespace std;

const int maxexp=120;

int main()
{
    int n, now, pre;
    int f[2][maxexp+1];                         //"滚筒"使用 
    
    while (scanf("%d", &n)==1)
    {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        for (int i=0; i<=n; i++)                //1+x+x^2+...+x^n
            f[1%2][i]=1;
        for (int i=2; i<=n; i++)
        {
            now=i%2; pre=(i-1)%2;
            for (int j=0; j<=n; j++)
                f[now][j]=0;
            for (int j=0; j<=n; j++)            //枚举之前结果
                for (int k=0; k+j<=n; k+=i)     //枚举当前多项式 1+x^i+x^2i+... 
                {
                    f[now][j+k]+=f[pre][j];             //中间结果保存在c2 
                }
        }
        printf("%d\n", f[n%2][n]);
    }
    return 0;
}



HDU2013

赤裸裸的递推,毫无技术性而言

f(n)=(f(n-1)+1)*2, 从最后一天逆推。

#include 
#include 

int main()
{
    int f[32], n;
    f[1]=1;
    for (int i=2; i<30; i++)
        f[i]=(f[i-1]+1)*2;
    while (scanf("%d", &n)==1)
        printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}


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