nyoj 712 探 寻 宝 藏（双线dp 第六届河南省程序设计大赛）

探 寻 宝 藏

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难度： 5

描述

传说HMH大沙漠中有一个M*N迷宫，里面藏有许多宝物。某天，Dr.Kong找到了迷宫的地图，他发现迷宫内处处有宝物，最珍贵的宝物就藏在右下角，迷宫的进出口在左上角。当然，迷宫中的通路不是平坦的，到处都是陷阱。Dr.Kong决定让他的机器人卡多去探险。

但机器人卡多从左上角走到右下角时，只会向下走或者向右走。从右下角往回走到左上角时，只会向上走或者向左走，而且卡多不走回头路。（即：一个点最多经过一次）。当然卡多顺手也拿走沿路的每个宝物。

Dr.Kong希望他的机器人卡多尽量多地带出宝物。请你编写程序，帮助Dr.Kong计算一下，卡多最多能带出多少宝物。

输入

第一行： K 表示有多少组测试数据。 
接下来对每组测试数据：
第1行: M N
第2~M+1行： Ai1 Ai2 ……AiN (i=1,…..,m)


【约束条件】
2≤k≤5 1≤M, N≤50 0≤Aij≤100 (i=1,….,M; j=1,…,N)
所有数据都是整数。 数据之间有一个空格。

输出

对于每组测试数据，输出一行：机器人卡多携带出最多价值的宝物数

样例输入

2
2 3
0 10 10
10 10 80
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 100

样例输出

120
134

来源

第六届河南省程序设计大赛

上传者

ACM_赵铭浩

这道题和以往我们做的dp不同之处就在于 是一去一回 

加入只有去 我们可以 用动态规划方程  dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+map[i][j].

而这道题去了又回来 我们可以理解为两个人同时从左上角去 不过不走相同的路  

如果两个人不走相同的路 那么这两个人必须不在相同的列或者行 又因为 两个人走的步数完全相同 

所以我们可以通过一个人走的步数得到另外一个人走的步数

我们可以通过一个四维的数组来保存

于是这个时候的动态规划方程  

dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),

29. max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+map[i][j]+map[k][l];

附上代码：

 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int map[55][55];	
int dp[55][55][55][55];
int main()
{

	int ncase;
	scanf("%d",&ncase);
	while(ncase--)
	{
		int n,m;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(map,0,sizeof(map));
		scanf("%d %d",&m,&n);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				scanf("%d",&map[i][j]);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				for(int k=i+1;k<=m;k++)
				{
					int l=i+j-k;
					if(l<0||l>n)
					break;
					dp[i][j][k][l]=max(max(dp[i-1][j][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1]),
					max(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i][j-1][k][l-1]))+map[i][j]+map[k][l];
				}
		printf("%d\n",max(max(dp[m][n-1][m-1][n],dp[m][n-1][m][n-1]),
		max(dp[m-1][n][m-1][n],dp[m-1][n][m][n-1]))+map[m][n]);
	}
}         

由于四维数组占用的空间特别大  又因为在这道题中两个人走的步数完全相同 也就是i+j=k+l  所以我们可以通过步数 转换为3维的

dp[k][i][j]  其中k为当前走的步数  i为第一个人的行左边 j为第二个人的行坐标

又因为我所建的图左上角坐标为（1,1） 所以从左上角到右下角需要的最少步数为m+n-2

这个时候的动态转移方程为

dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]),

30. max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]))+map[i][k-i+2]+map[j][k-j+2];

ac代码：

 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int map[55][55];	
int dp[110][55][55];
int main()
{

	int ncase;
	scanf("%d",&ncase);
	while(ncase--)
	{
		int n,m;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(map,0,sizeof(map));
		scanf("%d %d",&m,&n);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=1;j<=n;j++)
				scanf("%d",&map[i][j]);
		int step=m+n-2;
		
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=i+1;j<=m;j++)	
			for(int k=1;k=i&&k+2>=j)
					{
						dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]),
						max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]))+map[i][k-i+2]+map[j][k-j+2];
					}
					
				}
		printf("%d\n",max(dp[step-1][m][m-1],dp[step-1][m-1][m])+map[m][n]);
	}
	return 0;
}