环的分类
整环
定义：若环R是含幺、交换、无零因子环,则称R为整环
例：,是整环,,不是整环,
注：整环是无零因子环,消去律成立
可逆元
设R为含幺环,,若,使,则称a为可逆元,易证,若是可逆元,则满足条件的b是唯一的,称为a的逆元,记作$a^{-1},若a是可逆元,则a不可能是左(右)零因子
定理：设R为含幺环,令为环R中所有可逆元所成的集合,则在环R中乘法的意义下构成群
证明：
例：
1.整数模n的剩余类环,由可逆元的定义
即,
易证,在环中,只有是可逆元,且,,,
2.设F是域,在矩阵环中,一个n阶方阵A是可逆元,所有n阶可逆矩阵的集合记作,称为一般线性群
域
定义：设R是一个至少包含两个元的含幺环,若R中任一非零元都是可逆元,则称R为除环,若R为交换的除环,则称R为域
例：设p为一个素数,则为域
显然,是含幺交换环,,p是素数,a与p互素,为可逆元
中只有有限个元,称为有限域
有限域在密码和编码中有重要应用
非交换除环
例：设,,,
令,则H关于矩阵的加法和乘法构成一个非交换的除环
易知H中的元可表成
由矩阵的定义,H的任一元有且只有一种方法写成的形式,H上的加法和乘法分别定义为矩阵的加法和乘法
易证之间的乘法运算满足：
易证H对矩阵的加法和乘法构成一个环,e是乘法的单位元
且H中每个非零元都有逆元
设,,则H中的元可表成
其中,分别表示的共轭复数
设,则不全为零,x的行列式为
,故x有逆元,且
故H是一个除环,称为实四元数除环
H中的乘法不符合交换了,H不是域
无零因子环特征
设R是一个环,则是交换群,设,则a关于加法有一个阶,或无限大,或是有限整数
若a在加群中的阶为一个有限整数m,则
例：在环中,的加法阶为3,即
同理,的加法阶为2,即在环R中,不同元的加法阶不一定相同
定理：设是无零因子环,则R中每一个非零元的加法阶都相同,要么同为无限大,要么同为素数
证明：
特征
定义：设R是无零因子环,当R中非零元的加法阶为无限时,则称R的特征为0,当R中非零元的加法阶为素数p时,则称R的特征为p,环R的特征简写作
若,则对R中任意非零元a,,与数的运算规律一致
在含幺元的无零因子环中,用单位元1判断R的特征
例：,,,,一般,设p为素数,则有限域的特征为p