树状数组+例题：树状数组 1 ：单点修改，区间查询

本蒟蒻第一次发博客，希望支持。

树状数组

概念

树状数组 (Binary Indexed Tree(BIT)也称作(Fenwick Tree) 是一个区间查询和单点修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两点之间的所有元素之和。

例题

【模板】树状数组 1（洛谷）
树状数组 1 ：单点修改，区间查询（Liuser’s OJ）

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1. 将某一个数加上 x
2. 求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m ，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。
接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

1. 含义：将第 x 个数加上 k

1 x k

2. 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和

2 x y

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

样例

样例1输入

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

样例1输出

14
16

数据范围与提示

对于100%的数据，1≤n,m≤5×10^5。

分析

这道题的 常见做法：

for(long long i=x;i<=y;i++)
{
 ans+=a[i];
}
//用for循环从区间x到y依次求和，时间复杂度：O(n) 。

缺点：当数据规模极大的时候，将会变得效率低下，容易超时。

这时，我们想到了 前缀和：

//原数组为A[i]，再定义一个数组B[i]，i≤n+5。
B[1]=A[1];
B[2]=A[1]+A[2];
B[3]=A[1]+A[2]+A[3];
……
sum(A[L]+A[L+1]+……+A[R-1]+A[R]) = B[R]-B[L-1]

优点：输入原数组A时，预处理生成B数组，求和时只需一步相减即可。
缺点：若原数组元素A[i] 进行修改后，B[i]和B[i]以后的元素都得改变，那么修改的时间复杂度为O(n)，所以时间复杂度相当于没有变，还是O(n)。

这时，怎么办呢？

我们就要使用 树状数组：

首先，我们要生成树状数组，就如上图生成。
那么这又是怎么生成的呢？

就是通过 Lowbit：

Lowbit(i) 的意思是将 i 转化成二进制数之后，只保留最低位的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成十进制数，这个数也是树状数组中i号位的子叶个数。

long long Lowbit(long long x)
{
 return x&-x;
}
//原数为i(十进制)，先将原数转化成二进制之后，在与原数相反数的二进制按位与，答案就是lowbit(i)的结果

对原数组A[i]进行Update（更新）操作

void Update(long long x,long long y)
{
 for(long long i=x;i<=n;i+=Lowbit(i))
 {
  BIT[i]+=y;
 }
 return ;
}
//更新BIT[i]

求Sum（前缀和）操作

long long Sum(long long x)
{
 long long ans=0;
 for(long long i=x;i;i-=Lowbit(i))
 {
  ans+=BIT[i];
 }
 return ans;
}
//求和

代码+注释

#include
using namespace std;

long long a[1000005],BIT[1000005],n,q,s,l,r;
//定义全局数组

long long Lowbit(long long x)
{
 return x&-x;
}
//原数为i(十进制)，先将原数转化成二进制之后，在与原数相反数的二进制按位与，答案就是lowbit(i)的结果

void Update(long long x,long long y)
{
 for(long long i=x;i<=n;i+=Lowbit(i))
 {
  BIT[i]+=y;
 }
 return ;
}
//更新BIT[i]

long long Sum(long long x)
{
 long long ans=0;
 for(long long i=x;i;i-=Lowbit(i))
 {
  ans+=BIT[i];
 }
 return ans;
}
//求和 

int main()
{
 scanf("%lld%lld",&n,&q);
 for(long long i=1;i<=n;i++)
 {
  scanf("%lld",&a[i]);
  Update(i,a[i]);
 }
 //输入时预处理，构造BIT[i]
 for(long long i=1;i<=q;i++)
 {
  scanf("%lld%lld%lld",&s,&l,&r);
  if(s==1)
  {
   Update(l,r);
  }
  else
  {
   printf("%lld\n",Sum(r)-Sum(l-1));
   //输出区间[L,R]的和 
  }
 }
 return 0;
}