随机数发生器原理
随机数发生器的基本原理：下一个随机数 = 数学函数(前若干个随机数)
评价一个随机数发生器的好坏：
- 看起来是[0,1]之间的随机均匀分布
- 运行快，内存消耗低
- 可以重复，英文是reproducible：支持stream，即支持将一个随机数序列分割为相互无覆盖的子集，每个子集称为一个stream
线性同余发生器(Linear Congruential Generator)
目前主流的随机数发生器之一，1951年由Lehmer提出。从名字可以看出公式，即一个线性函数再取余：
第i个随机数 = (a*第i-1个随机数 + c)(mod m)
随机数的取值范围是[0,m-1]，将其除以m，就可以得到[0,1)之间的随机数。
- 随机数的取值只能是[0,m-1]中离散的整数值，为了让其除以m后看起来很连续，m需要取较大的值
- 一旦在第i个随机数和之前的某个随机数相同，那么后面的随机数将和之前的序列相同，出现周期性
- 全周期：希望[0,m-1]的每个值在一个周期内都出现一次，从而更有效地表现为均匀的[0,1)分布
全周期定理：满足以下条件时随机数发生序列具有全周期性质
- m和c互质
- 如果q是质数（只能被1和它本身整除）且能够整除m，则它能够整除a - 1
- 如果4整除m，4整除a-1
综上，我们可以得到线性同余发生器的设计方案：m=2^31 （除了让m很大外，还可以有效利用32位计算器integer overflow的性质，避免取模运算；之所以是31不是32，是因为int变量的最左边是符号位，数值表示范围只有31位；此外满足全周期定律第二条，2的次方不能被质数整除）；c为奇数（满足全周期定律第一条）；令a-1能够被4整除（第三条）
如果令c=0，可以避免加法运算，但是不可能获得全周期（不满足全周期定理的第一条，c能够被任意数整除）。但是如果妥善地选择m和a，可以得到m-1的周期长度。
如果令m=2^b，那么理论已经证明，能够获得的最大周期是2^(b-2)，也就是说只能产生[0,m)之间四分之一的数据，且这四分之一的数据如何分布是未知的，很可能显示出来的效果并不是均匀的。换个思路，我们将m设置为小于2^b的最大质数。凑巧的是，如果b为31，这个最大质数是2^31-1。确定这个m以后，a的选择满足：min(使a^l-1能被m整除的l)=m-1。这样的选择组合下，周期是m-1。目前大多数软件选择将a设置为a1=7^5=16807或a2=630360016。
这种随机数发生器称为PMMLCG（prime modulus multiplicative linear congruential generators）.
用C语言实现的PMMLCG源代码如下，代码由Averill M. Law提供。
文件1：lcgrand.h
float lcgrand(int stream);
void lcgrandst(long zset, int stream);
long lcgrandgt(int stream);
文件2: lcgrand.c
#define MODLUS 2147483647
#define MULT1 24112
#define MULT2 26143
static long zrng[] =
{ 1,
1973272912, 281629770, 20006270,1280689831,2096730329,1933576050,
913566091, 246780520,1363774876, 604901985,1511192140,1259851944,
824064364, 150493284, 242708531, 75253171,1964472944,1202299975,
233217322,1911216000, 726370533, 403498145, 993232223,1103205531,
762430696,1922803170,1385516923, 76271663, 413682397, 726466604,
336157058,1432650381,1120463904, 595778810, 877722890,1046574445,
68911991,2088367019, 748545416, 622401386,2122378830, 640690903,
1774806513,2132545692,2079249579, 78130110, 852776735,1187867272,
1351423507,1645973084,1997049139, 922510944,2045512870, 898585771,
243649545,1004818771, 773686062, 403188473, 372279877,1901633463,
498067494,2087759558, 493157915, 597104727,1530940798,1814496276,
536444882,1663153658, 855503735, 67784357,1432404475, 619691088,
119025595, 880802310, 176192644,1116780070, 277854671,1366580350,
1142483975,2026948561,1053920743, 786262391,1792203830,1494667770,
1923011392,1433700034,1244184613,1147297105, 539712780,1545929719,
190641742,1645390429, 264907697, 620389253,1502074852, 927711160,
364849192,2049576050, 638580085, 547070247 };
float lcgrand(int stream)
{
long zi, lowprd, hi31;
zi = zrng[stream];
lowprd = (zi & 65535) * MULT1;
hi31 = (zi >> 16) * MULT1 + (lowprd >> 16);
zi = ((lowprd & 65535) - MODLUS) +
((hi31 & 32767) << 16) + (hi31 >> 15);
if (zi < 0) zi += MODLUS;
lowprd = (zi & 65535) * MULT2;
hi31 = (zi >> 16) * MULT2 + (lowprd >> 16);
zi = ((lowprd & 65535) - MODLUS) +
((hi31 & 32767) << 16) + (hi31 >> 15);
if (zi < 0) zi += MODLUS;
zrng[stream] = zi;
return (zi >> 7 | 1) / 16777216.0;
}
void lcgrandst (long zset, int stream)
{
zrng[stream] = zset;
}
long lcgrandgt (int stream)
{
return zrng[stream];
}
文件3：test.c
#include
#include "lcgrand.h"
int main(){
int i = 0;
for(i=0;i<10;i++)
{
printf("%f\n",lcgrand(0));
}
}
文件4：Makefile
CC=gcc
MAKER_SRC=$(wildcard *.c)
MAKER_OBJ=$(patsubst %.c,%.o,$(MAKER_SRC))
MAKER_EXE=test
.PHONY:all
all:$(MAKER_EXE)
$(MAKER_EXE):$(MAKER_OBJ)
$(CC) -o $@ $^
%.o:%.c
$(CC) -c -o $@ $<
.PHONY:clean