简单记录一下费马小定理与欧拉定理

费马小定理

如果$p$是质数，且$gcd(a,p)=1$，则有$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

应用：求逆元

已知$p$是质数，且$gcd(a,p)=1$，求$a$在模$p$意义下的乘法逆元。

由于$$a^{p-1}\equiv 1(modp)$$

所以$$a\ast a^{p-2}\equiv 1(modp)$$

$a$在模$p$意义下的乘法逆元就是$a^{p-2}$

欧拉定理

若$a,n$为正整数，且$gcd(a,n)=1$，则有$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$

应用：降幂
计算$$7^{2222222}$$的个位数字。

即求$$7^{2222222}mod10$$

显然$$gcd(7,10)=1$$

所以$$7^{\varphi (10)}\equiv 1(mod10)$$

$$7^4\equiv 1(mod10)$$

$$7^{2222222}\equiv 7^{4\ast 55555+2}\equiv 7^2(mod10)$$

所以$$7^{2222222}mod10=9$$$