【51nod2026】Gcd and Lcm（杜教筛）

　　题目传送门：51nod

　　我们可以先观察一下这个$f(x)=\sum_{d|x}\mu(d) \cdot d$。

　　首先它是个积性函数，并且$f(p^k)=1-p \ (k>0)$，这说明函数$f(x)$的值只与$x$的质因数集合有关，与每个质因数的次数无关，然后我们就容易发现$f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j))=f(i) \cdot f(j)$。

　　于是原式化为

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(gcd(i,j)) \cdot f(lcm(i,j)) & =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f(i) \cdot f(j) \\ & =(\sum_{i=1}^{n}f(i))^2 \\ \end{aligned} $$

　　那么我们只需求出$f(x)$的前缀和。

　　设$g(x)=x,h(x)=[x=1]$，容易证明$f \ast g=h$（这里$\ast$指狄利克雷卷积），那么我们可以用杜教筛求解。

#include
#include
#include
#include
#include
#include

51nod2026

 

转载于:https://www.cnblogs.com/quzhizhou/p/11488156.html