使用Gompertz模型预测非典的趋势

在预测软件的可靠性时，可以根据该软件多轮测试发现的缺陷个数来预测应该发现的总缺陷数。在软件测试过程中，最开始的时候，会呈现缺陷增长较快的趋势状态，随着测试的进行，测试难度加大，需要执行较多的测试用例才能发现一个缺陷，虽然继续投入测试，仍然会持续发现缺陷，但是明显缺陷的增长速度会减缓，同时软件中隐藏的缺陷是有限的，因而限制了发现缺陷数的无限增长。在实践中预测总缺陷数的常用方法是Gompertz模型，该模型预测的准确率很高，尤其是当测试轮次超过总轮次的1/3之后。

其实Gompertz模型最初并非是针对软件领域的，而是用来预测人类的死亡概率，所以人们也称之为：“Gompertz人类死亡定律”，它是由英国保险精算师Benjamin Gompertz在1825年首次发现：你认为你在明年死的概率是多少？试着用一个数字回答——百分之一？万分之一？不管是多少，这个数字将在8年后增长一倍！这意味着人们能活到某个特定年龄的概率是在不断加速下降的。 该模型可以用来刻画这样的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条渐近线(K值)。现实中有许多现象符合Gompertz曲线，如软件缺陷的发现、一定时期的人口增长等，因而该曲线被广泛应用于现象的趋势变动研究。

            Gompertz模型是一个双指数公式：

 

            其中：

                        t是自变量，代表时间，如测试轮次等；

                        K代表Y的极限值，即当t趋向于无穷大时Y的取值，如软件中隐藏的缺陷总数；

                        a<1，Ka为t=0时Y的初始值；

                        0，b为形状参数，b越大，代表可靠性增长越慢，到达极限值的速度越慢，如软件测试的周期越长。

            当已知了历史数据之后，就可以根据历史数据采用三和法、三点法、高斯牛顿法等多种方法求出K，a，b值，从而拟合出该现象的发展趋势。尽管该方法理论上有一些前提条件，但是实践中我们忽略其前提条件，仍然有很高的准确度。

            我们以2003年4月20日到6月12日65天的北京市非典数据为例进行测算一下：

序号	日 期	已确诊病例累计	新增确诊
1	4月20日	339	339
2	4月21日	482	143
3	4月22日	588	106
4	4月23日	693	105
5	4月24日	774	81
6	4月25日	877	103
7	4月26日	988	111
8	4月27日	1114	126
9	4月28日	1199	85
10	4月29日	1347	148
11	4月30日	1440	93
12	5月1日	1553	113
13	5月2日	1636	83
14	5月3日	1741	105
15	5月4日	1803	62
16	5月5日	1897	94
17	5月6日	1960	63
18	5月7日	2049	89
19	5月8日	2136	87
20	5月9日	2177	41
21	5月10日	2227	50
22	5月11日	2265	38
23	5月12日	2304	39
24	5月13日	2347	43
25	5月14日	2370	23
26	5月15日	2388	18
27	5月16日	2405	17
28	5月17日	2420	15
29	5月18日	2434	14
30	5月19日	2437	3
31	5月20日	2444	7
32	5月21日	2444	0
33	5月22日	2456	12
34	5月23日	2465	9
35	5月24日	2490	25
36	5月25日	2499	9
37	5月26日	2504	5
38	5月27日	2512	8
39	5月28日	2514	2
40	5月29日	2517	3
41	5月30日	2520	3
42	5月31日	2521	1
43	6月16日	2521	0
44	6月17日	2521	0
45	6月18日	2521	0
46	6月19日	2521	0
47	6月20日	2521	0
48	6月21日	2521	0
49	6月22日	2521	0
50	6月23日	2521	0
51	6月1日	2522	1
52	6月2日	2522	0
53	6月3日	2522	0
54	6月4日	2522	0
55	6月5日	2522	0
56	6月6日	2522	0
57	6月8日	2522	0
58	6月9日	2522	0
59	6月10日	2522	0
60	6月13日	2522	0
61	6月14日	2522	0
62	6月15日	2522	0
63	6月7日	2523	1
64	6月11日	2523	0
65	6月12日	2523	0

 

            在1stopt软件中对上述65天的数据进行拟合得到如下的结果：

 

相关系数(R): 0.9993

相关系数之平方(R^2): 0.9987

 

参数     最佳估算

----------      -------------

K               2539.2751

a               0.0991

b              0.8769

 

即模型预测的最终确诊人数上限为2539，在疫情发展过程中，我们可以每天进行预测K值的变化，以下为基于上述2003年非典数据每5天一次的预测结果与实际值的对比：

第几天进行预测	K值（上限）	与实际值2523的偏差	与实际值的偏差率
5	982	-1541	-61.08%
10	2530	7	0.28%
15	2715	192	7.61%
20	2779	256	10.15%
25	2712	189	7.49%
30	2632	109	4.32%
35	2581	58	2.30%
40	2569	46	1.82%
45	2560	37	1.47%
50	2552	29	1.15%
55	2546	23	0.91%
60	2542	19	0.75%
65	2539	16	0.63%

综合上表我们可以发现该模型在初期，即疫情发展的前5天，趋势不明显时，预测结果偏差较大，但是中后期拟合的效果还是很好的！

 

            如果采用该方法预测一下当下的新型冠状病毒肺炎的趋势会是怎么样的呢？敬请关注后续文章！