关于分金币的问题

1019: 分金币

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Description

圆桌旁坐着n个人，每人有一定数量的金币，金币总数能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数相等。你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。比如，n=4，且4个人的金币数分别为1，2，5，4时，只需转移4枚金币（第3个人给第2个人两枚金币，第2个人和第4个人分别给第1 个人1枚金币）即可实现每人手中的金币数目相等。

Input

输入包含多组数据。每组数据第一行为整数n（n<=1 000 000），以下n行每行为一个整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。输入结束标志为文件结束符（EOF）。

Output

对于每组数据，输出被转手金币数量的最小值。输入保证这个值在64位无符号整数范围内。

Sample Input

3

100

100

100

4

1

2

5

4

Sample Output

0

4

【解析】
此处附上他人解析很清楚了 首先最终每个人的金币数量可以计算出来，它等于金币总数除以人数n。接下来用M来表示每个人最终拥有的金数现在假设编号为 i 的人初始有Ai 枚金币，对于1号来说，他给了2号x1枚金币，还剩Ai -x1枚金币；但是3号给了他x2枚金币，所以还剩A1-x1+x2枚金币。所以A1-x1+x2=M。同理对于第2个人，有A2-x2+x3=M。最终得到n个方程，尝试用x1表示出其他的xi ，则本题就变成了单变量的极值问题。其实x1和x2代表的就是给出去的硬币和收回来的硬币。
对于第1个人，A1-x1+x2=M → x2=M-A1+x1=x1-C1（C1=A1-M）
对于第2个人，A2-x2+x3=M → x3=M-A2+x2=2M-A1-A2+x1=x1-C2（C2=A1+A2-2M）
对于第3个人，A3-x3+x4=M → x4=M-A3+x3=3M-A1-A2-A3+x1=x1-C3（C3=A1+A2+A3-3M）......
我们希望所有xi 的绝对值之和尽量小，即|x1|+|x1-C1|+|x1-C2|+...+|x1-Cn-1|要最小。其实|x1-Ci|的几何意义是数轴上的点x1到Ci 的距离，所以问题变成了：给定数轴上n个点，找出一个到他们距离之和尽量小的点。也就是说我们是要寻找最x1这个点在哪里，我们才可以使总和最小，其实就是中位数的时候。

#include
#include
using namespace std;
#define maxn 1000001
long long A[maxn], C[maxn], tot, M;
int main()
{
    int n,i;
    while(scanf("%d", &n) == 1)
    {
        tot = 0;
        for(i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lld", &A[i]); tot += A[i]; }
       M = tot / n;
        C[0] = 0;
        for(i = 1; i < n; i++) C[i] = C[i-1] + A[i] - M;
       sort(C, C+n);
        long long x1 = C[n/2], ans = 0;
        for(i = 0; i < n; i++) ans += abs(x1-C[i]);
       printf("%lld\n", ans);
   }
    return 0;
}