BFPRT算法详解

一：背景介绍

在一大堆数中求其前k大或前k小的问题，简称TOP-K问题。而目前解决TOP-K问题最有效的算法即是BFPRT算法，其又称为中位数的中位数算法，该算法由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出，最坏时间复杂度为O(n)

。

在首次接触TOP-K问题时，我们的第一反应就是可以先对所有数据进行一次排序，然后取其前k即可，但是这么做有两个问题：
（1）：快速排序的平均复杂度为O(nlogn)，但最坏时间复杂度为O(n2)，不能始终保证较好的复杂度。
（2）：我们只需要前k大的，而对其余不需要的数也进行了排序，浪费了大量排序时间。

除这种方法之外，堆排序也是一个比较好的选择，可以维护一个大小为k的堆，时间复杂度为O(nlogk)。

那是否还存在更有效的方法呢？受到快速排序的启发，通过修改快速排序中主元的选取方法可以降低快速排序在最坏情况下的时间复杂度（即BFPRT算法），并且我们的目的只是求出前k，故递归的规模变小，速度也随之提高。下面来简单回顾下快速排序的过程，以升序为例：
（1）：选取主元（首元素，尾元素或一个随机元素）；
（2）：以选取的主元为分界点，把小于主元的放在左边，大于主元的放在右边；
（3）：分别对左边和右边进行递归，重复上述过程。

二：BFPRT算法过程及代码

上面的描述可能并不易理解，先看下面这幅图：

BFPRT()调用GetPivotIndex()和Partition()来求解第k小，在这过程中，GetPivotIndex()也调用了BFPRT()，即GetPivotIndex)和BFPRT()为互递归的关系。

下面为代码实现，其所求为前K小的数：

/**
* BFPRT算法（前K小数问题）
*
* author    刘毅（Limer）
* date      2017-01-25
* mode      C++
*/

#include
#include
using namespace std;

int InsertSort(int  array[], int left, int right);                 //插入排序，返回中位数下标
int GetPivotIndex(int  array[], int left, int right);              //返回中位数的中位数下标
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index);  //利用中位数的中位数的下标进行划分，返回分界线下标
int BFPRT(int array[], int left, int right, const int & k);        //求第k小，返回其位置的下标

int main()
{
    int k = 5;
    int array[10] = { 1,1,2,3,1,5,-1,7,8,-10 };

    cout << "原数组：";
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;

    cout << "第" << k << "小值为：" << array[BFPRT(array, 0, 9, k)] << endl;

    cout << "变换后的数组：";
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}

/* 插入排序，返回中位数下标 */
int InsertSort(int array[], int left, int right)
{
    int temp;
    int j;
    for (int i = left + 1; i <= right; i++)
    {
        temp = array[i];
        j = i - 1;
        while (j >= left && array[j] > temp)
            array[j + 1] = array[j--];
        array[j + 1] = temp;
    }

    return ((right - left) >> 1) + left;
}

/* 返回中位数的中位数下标 */
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right)
{
    if (right - left < 5)
        return InsertSort(array, left, right);

    int sub_right = left - 1;
    for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5)
    {
        int index = InsertSort(array, i, i + 4);  //找到五个元素的中位数的下标
        swap(array[++sub_right], array[index]);   //依次放在左侧
    }

    return BFPRT(array, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);
}

/* 利用中位数的中位数的下标进行划分，返回分界线下标 */
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index)
{
    swap(array[pivot_index], array[right]);  //把基准放置于末尾

    int divide_index = left;  //跟踪划分的分界线
    for (int i = left; i < right; i++)
    {
        if (array[i] < array[right])
            swap(array[divide_index++], array[i]);  //比基准小的都放在左侧
    }

    swap(array[divide_index], array[right]);  //最后把基准换回来
    return divide_index;
}

int BFPRT(int array[], int left, int right, const int & k)
{
    int pivot_index = GetPivotIndex(array, left, right);            //得到中位数的中位数下标
    int divide_index = Partition(array, left, right, pivot_index);  //进行划分，返回划分边界
    int num = divide_index - left + 1;
    if (num == k)
        return divide_index;
    else if (num > k)
        return BFPRT(array, left, divide_index - 1, k);
    else
        return BFPRT(array, divide_index + 1, right, k - num);
}

三：时间复杂度分析

参考文献：
[1] 算法导论（第3版）
[2] 算法设计与分析基础（第3版）
[3] Wikipedia. Median of medians
[4] ACdreamers. BFPRT 算法
[5] NOALGO. BFPRT算法