CodeForces 553 B.Kyoya and Permutation（组合数学）

Description

给出一个长度为 n n 的排列 p1...pn p 1 . . . p n ，找到 p p 序列拆成循环置换，然后对每个循环内部将数字从大到小排序，再把所有循环按最大值从小到大排序，如果经过以上操作后序列不变，则称该序列是稳定的，求所有长度为 n n 的排列中字典序第 k k 小的排列

Input

两个整数 n,k(1≤n≤50,1≤k≤min(1018,l)) n , k ( 1 ≤ n ≤ 50 , 1 ≤ k ≤ m i n ( 10 18 , l ) ) ，其中 l l 为所有长度为 n n 的稳定排列的数量

Output

输出所有长度为 n n 的排列中字典序第 k k 小的排列

Sample Input

4 3

Sample Output

1 3 2 4

Solution

显然 n n 所在循环在最后一个循环，且 n n 在这个循环的第一个位置，如果这个循环长度是 1 1 显然可以，问题规模变成 n−1 n − 1 ，如果这个循环的长度为 2 2 也可以，只需令 pn−1=n,pn=n−1 p n − 1 = n , p n = n − 1 即可，如果这个循环长度超过 2 2 则不行，以长度为 3 3 为例，假设 py=n,pn=x,px=y p y = n , p n = x , p x = y ，由于 n n 在最后一个循环且该循环长度为 3 3 ，那么 y=n−2,x=n−1 y = n − 2 , x = n − 1 ，即 pn−2=n,pn−1=n−2,pn=n−1 p n − 2 = n , p n − 1 = n − 2 , p n = n − 1 ，操作后排列最后三个位置变成 pn−2=n,pn−1=n−1,pn=n−2 p n − 2 = n , p n − 1 = n − 1 , p n = n − 2 ，矛盾，故 n n 所在循环长度不超过 2 2

假设长度为 n n 的稳定排列有 f(n) f ( n ) 个，那么当 n n 所在循环长度为 1 1 时，问题转化为求长度为 n−1 n − 1 的稳定序列个数，即 f(n−1) f ( n − 1 ) ，当 n n 所在循环长度为 2 2 时，最后两个位置就是 n,n−1 n , n − 1 ，故问题转化为求长度为 n−2 n − 2 的稳定序列个数，即 f(n−2) f ( n − 2 ) ，故 f(n)=f(n−1)+f(n−2) f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ，且 f(0)=f(1)=1 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 1 ，即斐波那契数列

现在考虑求字典序第 k k 小的排列，当第一个位置为 1 1 时，问题转化为求后 n−1 n − 1 个数形成稳定排列的个数，这些排列必然小于 1,2 1 , 2 互换时排列的字典序，所以如果 k>f(n−1) k > f ( n − 1 ) 说明前两个位置需要互换，否则不需要，以此类推，每次会固定前一个位置或前两个位置

Code

#include
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#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=55;
ll f[maxn];
void init(int n=50)
{
    f[0]=f[1]=1;
    for(int i=2;i<=50;i++)f[i]=f[i-1]+f[i-2];
}
int main()
{
    init();
    int n;
    ll k;
    while(~scanf("%d%I64d",&n,&k))
    {
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
        {
            if(k>f[i])
            {
                k-=f[i];
                printf("%d %d",n-i+1,n-i);
                i--;
            }
            else printf("%d",n-i);
            printf("%c",i?' ':'\n');
        }
    }
    return 0;
}