最大连续子数组

最大连续子数组

• 给定一个数组A[0,……,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。
• 例如：
  • 数组：1,-2,3,10,-4,7,2,-5
  • 最大子数组：3,10,-4,7,2

暴力法

• 直接求解A[i,……j]的值
• 0 $\le$ i < n
• i $\le$ j < n
• i,i+1,……,j-1,j的最大长度为n
• 因此：时间复杂度O($n^3$)

Code

public int MaxSubArray(int[] A, int n) {
        int maxSum = A[0];
        int currSum;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                currSum = 0;
                for (int k = i; k <= j; k++) {
                    currSum += A[k];
                }
                if (currSum > maxSum) {
                    maxSum = currSum;
                }
            }
        }
        return maxSum;
    }

分治法

• 将数组从中间分开，那么最大子数组要么完全在左半边数组，要么完全在右半边数组，要么跨立在分界点上。
• 完全在左数组、右数组递归解决。
• 跨立在分界点上：实际上是左数组的最大后缀和右数组的最大前缀的和。因此，从分界点向前扫，向后扫即可。
• 时间复杂度为O($nlo{g}_{2}n$)

Code

public int MaxAddSub(int[] a, int from, int to) {
        if (to == from) {
            return a[from];
        }

        int middle = (from + to) / 2;
        int m1 = MaxAddSub(a, from, middle);
        int m2 = MaxAddSub(a, middle+1, to);

        int left = a[middle];
        int now = a[middle];
        for (int i = middle-1; i >= from; i--) {
            now += a[i];
            left = max(left, now);
        }
        int right = a[middle+1];
        now = a[middle+1];
        for (int i = middle+2; i <= to; i++) {
            now += a[i];
            right = max(right, now);
        }
        int m3 = left + right;
        return max(max(m1, m2), m3);
    }

动态规划

• 记S[i]为以A[i]结尾的数组中和最大的子数组
• 则：S[i+1] = max(S[i]+A[i+1], A[i+1])
• S[0] = A[0]
• 遍历i：0 $\le$ i $\le$ n-1
• 动态规划：最优子问题
• 时间复杂度：O(n)

public int MaxAddSub2(int[] a) {
        int result = a[0];
        int sum = a[0];
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            if (sum > 0) {
                sum += a[i];
            } else {
                sum = a[i];
            }
            if (sum > result) {
                result = sum;
            }
        }
        return result;
    }