在n×n格的国际象棋上摆放n个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
n皇后是由八皇后问题演变而来的。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出:在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。 高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果。
随着计算机的普及和发展,以前人们无法解决的问题,计算机可以简单计算出来。而且思路十分清晰,那就是暴力求解,遍历所有情况,然后计算出解的个数。
按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法
用数组模拟棋盘,从第一行开始,依次选择位置, 如果当前位置满足条件,则向下选位置, 如果不满足条件,那么当前位置后移一位。
最后一个不满足,回溯到上一行, 选下个位置,继续试探。
其实并不需要一个n*n的数组,我们只需要一个n长度的数组来存位置。
表示方式: arr[i] = k; 表示: 第i行的第k个位置放一个皇后。这样一个arr[n]的数组就可以表示一个可行解, 由于回溯,我们就可以求所有解。
因为八皇后不能在同行,同列, 同斜线。
我们可以提取比较方法:
public boolean comp(int row, int col){ //当前行和列
for (int i = 0; i < row; i++) //比较之前row -1 列。
{
if(col == arr[i] || abs(row-i) != abs(col-arr[i])) //如果在同一列,同一斜线
return false;
}
return true;
}
比较函数写完后, 就只剩下回溯过程, 我们采用递归的方式回溯,比较好理解。
//当前层 row
for (int i = 0; i < n; i++){
if(comp(row, i)){
arr[row] = i;
//同样方式遍历下一层。 row + 1
}
}
最坏的情况: 每一行有n种情况,有n行, 所以时间复杂度为O(n^n)。
但是由于回溯法会提前判断并抛弃一些情况,使得时间复杂度并没有想象中那么高。但是说是O(n!)也不太对,具体怎么算,暂时也不太清楚。(之前想当然了,此处有修正,多谢评论中的提醒。)
因为只用了arr[n]的数组,也就是O(n).
public class NQueen {
private int n;
private long count;
private int[] arr;
// private int nn;
public NQueen(int n){
this.n = n;
// nn = (1 << n) - 1;
count = 0;
arr = new int[n];
}
/**
* row col i arr[i]
* @param row
* @param col
* @return
*/
public boolean Check(int row, int col){
for(int i = 0; i < row; i++){
if(col == arr[i] || Math.abs(row - i) == Math.abs(col - arr[i])) //在同一列或者在同一斜线。一定不在同一行
return false;
}
return true;
}
public void FindNQueen(int k) {
if (k == n) { //求出一种解, count+1
count++;
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (Check(k, i)) { //检查是否满足条件
arr[k] = i; //记录
FindNQueen(k + 1); //递归查找
}
}
}
public static void main(String args[]){
NQueen nQueen = new NQueen(13);
nQueen.FindNQueen(0);
System.out.println(nQueen.count);
}
}
虽然计算机算的很快,但是上诉方法实在是太慢了, java就更慢了。如何网上就有大佬给出了位运算求解。精妙的不行。
我们不再用数组来存储位置,而是用一个整数k,k一开始等于0. 不是普通的0.我们也不比较了,直接用两个整数l和r 记录在斜线在当前行不能走的位置。如果是n皇后, 那么用一个整数
nn = 1 << n 表示结束。
举个栗子吧: 8皇后问题。
初始化 那么我们就变成二进制的角度来看这些初始化的数据吧。
k = 00000000, l = 00000000, r = 00000000; nn = 11111111; (<- 8个0 8个1)
l和r的实现:
比如k = 00110001. 我要在第4个为位置放一个皇后, 假设l和r都没有涉及这个位置。
那么这个位置x= 00001000.
假设l = 00110001, r = 00100010.下一行,l表示斜率为-1不能放的位置, 那么第i+1行 l 中所有为1的数字都需要向左移动一位,r需要向右移动一位。 l & x 也就是加上当前选中的位置一起移动。
//k 当前已走了多少个位置。 l 左斜线不能走的位置, r 右斜线不能走的位置。
public void FindNQueen(int k, int l, int r){
if(k == nn){
count++;
return;
}
int z = nn & (~(k | l | r)); //能走的位置, 和nn取并可以去掉前面多余的1
while(z != 0){
int index = z & (~z+1); //最右边的一个1, 即要放皇后的位置。
z -= index; //去掉这个位置。
FindNQueen(k | index, (l|index)<<1, (r|index)>>1); //查找下一个。
}
}
其实还有其他方式和更快的方式求解,比如位运算+多线程, 还有号称时间复杂度为O(1),利用数学公式的构造法求解。扶我起来,我要继续学。