Algothrim Design note 1

引言：稳定匹配

稳定匹配问题：Gale-Shapley算法返回稳定匹配

initial 所有m∈M和w∈m都是自由的
While 存在男人m 是自由的且没有每个女人求婚
	choose this man m
	let w 是 m 的 优先表中m还没有求过婚的最高排名的女人
	if  w 是自由的 then
		( m , w )形成配对
	Else w 当前与m' 配对
		if w prefer m' to m then
	    	m 保持自由
	    Else  w prefer m to m'
	    	m' 变为自由
	    Endif
	  Endif
EndWhile
输出已配对 集合S

五个经典算法问题

1. 区间调度(Interval Scheduling) nlogn 贪心算法
   Input: 有标记为1,2,···,n的n个需求，每个需求i由开始时间$s_i$和结束时间$f_i$指定，显然对于所有i,我们有$s_i<f_i$,如果两个需求i和j所要求的区间不重叠，或者需求i比需求j处在一个更早的时间区间($f_i<s_i$)，则称为相容的.
   output：找到最大的相容的需求子集!

   

2. 带权区间调度 nlogn 动态规划
   设置每个需求区间i有一个相联系的值或者权$v_i>0$(weights)

3. 二分匹配(Bipartite graph) $n^k$最大流问题
   把图应用于之前提到的稳定匹配来表达这些概念，图G=代表二部图，顶点集V可以划分为集合X与Y。

与稳定匹配问题不同的是，这里不考虑优先，但是任意二部图问题本身增加了不同源的复杂性：从每个$x\subset Xy\subset Y$不一定存在一条边。
input :给定 一个任意二部图 output: 求一个最大匹配

4. 独立集(Independent Set) NP完全问题

讨论一个更加一般化的问题，给定图G=,我们说集合$S\subset V$是独立的。如果在S中没有两个结点与同一条边相交。那么独立集问题描述如下：
更加一般化的问题(区间调度和二分图都可以归为独立集问题 NPC问题) 给定图G,找到最大相容独立集。
独立集问题目前状态为：对这一问题还不知道有任何有效的算法，据猜想不存在这样的算法，明显的蛮力算法将尝试所有的结点子集，对每一个进行检查，看看它是否独立，记录遇到的最大的一个，可能这个将近我们力所能及的最好的情况。

5. 竞争便利店选址问题(Competitive facility location) PSPACE问题

基于以下对策，两家便利店轮流开店，必须遵从分区规章，要求两家咖啡店不允许位置太接近，使得布局尽可能方便。我们更具体一些问题：问题中的地区被划分为n个小区，记为1,2,···,n, 每个小区i有一个值bi,为收入，某对小区(i,j)是相邻的，不允许两个相邻的小区各包含一家店。通过图G=建模，V为小区集合，相邻代表为一条边，构成独立集。
两个对手P1,P2交替从G中选择结点，对于P2是否存在一个策略使得不管P1如何走，P2有一个界至少为B的结点集合。

input: 一个有带权结点的图
Game: 两个竞争对手轮流选择结点，如果邻居结点被选择了，则不能选。
output:寻找结点的最大权重子集

《 Algorithm Design 》 Jon Kleinberg, Eva Tardos